Cutting sequences on Bouw-Müller surfaces: an 𝓢-adic characterization

Abstract

On considère un codage symbolique des géodésiques sur une famille de surfaces de Veech (surfaces de translation riches en symétries affines) récemment découverte par Bouw et Möller. Ces surfaces, comme l'a remarqué Hooper, peuvent être réalisées en coupant et collant une collection de polygones semi-réguliers. Dans cet article, on caractérise l'ensemble des suites symboliques ("suites de coupage") qui correspondent au codage de trajectoires linéaires, à l'aide de la suite des côtés des polygones croisés. On donne une caractérisation complète de l'adhérence de l'ensemble des suites de coupage, dans l'esprit de la caractérisation classique des suites sturmiennes et de la récente caractérisation par Smillie-Ulcigrai des suites de coupage des trajectoires linéaires dans les polygones réguliers. La caractérisation est donnée en termes d'un système fini de substitutions (connu aussi sous le nom de présentation S-adique), réglé par une transformation unidimensionnelle qui ressemble à l'algorithme de fraction continue. Comme dans le cas sturmien et dans celui des polygones réguliers, la caractérisation est basée sur la renormalisation et sur la définition d'un opérateur combinatoire de dérivation approprié. Une des nouveautés est que la dérivation se fait en deux étapes, sans utiliser directement les éléments du groupe de Veech, mais en utilisant un difféomorphisme affine qui envoie une surface de Bouw-Möller vers sa surface "duale", qui est dans le même disque de Teichmüller. Un outil technique utilisé est la présentation des surfaces de Bouw-Möller par les diagrammes de Hooper.