Cr-Meromorphic Extension and the Nonembeddability of the Andreotti–rossi Cr Structure in the Projective Space

Abstract

Mathematics Subject Classification: Primary 32Dxx, 32F40; Secondary 32D10, 32H04.Let Y C C" be a polynomially convex compact set and let M be a (2p -1) dimensional (p > 2) maximally complex bounded scarred C 1 submanifold of C n \Y, irreducible in the current sense. According to and Chirka [4], there exists a bounded irreducible analytic set T C C n \Y such that [M] = ±d [T]. In this paper, we prove that every CR-meromorphic map carrying M into a projective manifold V extends to a meromorphic map F : T -> V. We extend the notion of CR-meromorphic maps to CR submanifolds of C n and give another proof of our extension theorem which extends to the greater codimensional case. We also apply our extension result to prove a Lewy type extension theorem for CR-meromorphic maps, a Hartogs type theorem in P n (C) and the non embedding of the Andreotti-Rossi CR structure in P n (C).

Problème du bord dans l'espace projectif complexe

“…Les résultats de ces travaux sont utilisés pour la résolution du problème du bord avec p > 1 [4], [5]. Ils sont également utilisés par Sarkis pour démontrer un théorème d'extension des fonctions CR-méromorphes [22]. la fonction G s'écrit en somme finie à coefficients ±1 de fonctions vérifiant les équations de l'onde de choc [7], [8].…”

“…Pour n ^ 2 et pour / : bD -> CP 1 une application de classe C 2 , ce résultat est prouvé par Dolbeault-Henkin et Porten [8]. Pour / une fonction CR-méromorphe au sens rectifiable, ce théorème est prouvé par Sarkis [22]. Pour le prouver, Dolbeault-Henkin ont utilisé leur théorème sur le problème du bord dans l'espace projectif.…”

Polynomial hulls and positive currents

“…It is still an open question wherether the hull of an arbitrary compact set of finite linear measure is an union of varieties. The reader can find some applications of Wermer's theorem in Harvey-Lawson [21], Dolbeault-Henkin [14], Sarkis [29], Alexander-Wermer [7] and [11,27].…”

Problème de Plateau complexe dans les variétés kählériennes

“…3) Une généralisation du théorème de Hartogs-Bochner pour les applications CRà valeurs dans une variété kählérienne disque convexe X (pour X = P n (C), nous retrouvons des résultats de [12], [30], [33]). 4) La généralisation suivante du théorème de Hartogs-Bochner : supposons que X est une variété kählérienne de dimension 2 ne contenant aucune surface de Riemann compacte.…”

“…En particulier, cela prouve de manière immédiate que les exemples de structures CR d'Andreotti-Rossi [31], [32], [3], [16], [13] et de Barrett [4] (cas où l'espace des fonctions CR est de dimension 1) ne sont plongeables dans aucune variété kählérienne disque convexe X. En effet, ces variétés ne sont pas plongeables dans l'espace affine mais, par construction, elles admettent des fonctions CR non constantes, on en déduit alors directement qu'elles ne sont pas plongeables dans X (pour X = P n (C) et M la structure CR d'Andreotti-Rossi, ceci est démontré de manière différente dans [33]). …”