Correspondência do tipo Galois para ações de álgebras de Hopf em álgebras primas

Abstract

AgradecimentosInicialmente, agradeço aos meus pais, Márcia e Márcio, que sempre cultivaram e demonstraram de forma incisiva a importância da educação na vida de uma pessoa. Passei a acreditar que a educação pela educação já basta como justificativa.Gostaria de agradecer ao Instituto de Matemática e Estatística por duas razões, a primeira por ter me aceitado como aluno mesmo não tendo graduado em matemática, e a segunda por ter um ambiente tranquilo e receptivo, o qual tive a oportunidade de desfrutar e que me era sempre uma fonte de inspiração.Agradeço também aos diversos colegas e professores que me ajudaram de alguma forma nessa jornada, seja através de conversas inspiradoras, ou seja através da transferência de conhecimento e direcionamento. Não citarei nomes para não correr o risco de cometer alguma injustiça. Finalmente, agradeçoà minha orientadora, Profa. Dra. Lucia Satie Ikemoto Murakami, por ter acreditado em mim desde o começo e por ter continuado a acreditar mesmo quando parecia que não seria possível a conclusão deste trabalho. Obrigado a vocês ! i ii Resumo Neste trabalho demonstramos um teorema da correspondência do tipo Galois para ações dé algebras de Hopf pontuais de dimensão finita emálgebras primas. A correspondência acontece entre subálgebras racionalmente completas e comódulo subálgebras. As subálgebras racionalmente completas são subálgebras daálgebra prima, enquanto os comódulo subálgebras são comódulo subálgebras do produto smash entre o centralizador daálgebra prima em suaálgebra de quocientes de Martindale simétrica e aálgebra de Hopf. Palavras-chave: ações deálgebras de Hopf; correspondência Hopf-Galois; estrutura de coálgebras iii iv Abstract A Galois-type correspondence theorem for prime algebras acted upon by a finite dimensional pointed Hopf algebra is proved. The correspondence involves rationally complete subalgebras and comodule subalgebras. The rationally complete subalgebras are subalgebras of the prime algebra, while the comodule subalgebras are comodule subalgebras of the smash product between the centralizer of the prime algebra in its symmetric Martindale quotient algebra and the Hopf algebra.(iii) Seja J um subconjunto qualquer de C. Denotamos J + = J ∩ ker(ε).Para qualquer coálgebra C, podemos definir a sua coálgebra co-oposta C cop , que coincide com C como espaço vetorial, cuja counidade coincide com ε, e cuja comultiplicação, chamada comultiplicação co-oposta,é dada por ∆ cop = τ • ∆. Observe que umaálgebra Aé comutativa se m • τ = m em A ⊗ A. Da mesma forma, dizemos que Cé cocomutativa se τ • ∆ = ∆ em C. Sejam (C, ∆ C , ε C ) e (D, ∆ D , ε D ) coálgebras. Dizemos que uma aplicação linear f : C −→ Dé um morfismo de coálgebras se ∆ D • f = (f ⊗ f ) • ∆ C e ε C = ε D • f . Definição. Seja I um subespaço de C. Dizemos que: (i) Ié um coideal se ∆(I) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I e ε(I) = 0. (ii) Ié um coidealà direita se ∆(I) ⊆ I ⊗ C. (iii) Ié um coidealà esquerda se ∆(I) ⊆ C ⊗ I.(iv) Ié uma subcoálgebra se ∆(I) ⊆ I ⊗ I.Em qualquer coálgebra existem alguns tipos de elementos que são bem ...