Convex Constrained Semialgebraic Volume Optimization: Application in Systems and Control

Abstract

In this paper, we generalize the chance optimization problems and introduce constrained volume optimization where enables us to obtain convex formulation for challenging problems in systems and control. We show that many different problems can be cast as a particular cases of this framework. In constrained volume optimization, we aim at maximizing the volume of a semialgebraic set under some semialgebraic constraints. Building on the theory of measures and moments, a sequence of semidefinite programs are provided, whose sequence of optimal values is shown to converge to the optimal value of the original problem. We show that different problems in the area of systems and control that are known to be nonconvex can be reformulated as special cases of this framework. Particularly, in this work, we address the problems of probabilistic control of uncertain systems as well as inner approximation of region of attraction and invariant sets of polynomial systems. Numerical examples are presented to illustrate the computational performance of the proposed approach.

Об Одной Задаче Оптимального Удержания Траекторий Дискретной Стохастической Системы В Трубке

“…Исследование задач оптимального управления стохастическими системами с критериями вероятности выполняются с 1960-х гг. для широкого спектра прикладных областей: аэрокосмической [1][2][3][4][5], робототехнической [6][7][8][9][10], экономической [11][12], биомедицинской [13] и др. [14].…”

“…Задачи с критерием максимума вероятности пребывания системы в трубке траекторий исследовались в [2, 6-10, 13-15, 19-21]. В [6][7][8][9][10][13][14][15] исследован случай дискретного времени, для которого получены условия оптимальности в форме метода динамического программирования (МДП), на основе которого предложен ряд алгоритмов, позволяющих решить задачу стохастической достижимости, где сами множества достижимости строятся с помощью аппроксимации поверхности уровня функции Беллмана. В [19] для линейной системы с дискретным временем получены условия логарифмической вогнутости функции Беллмана и с использованием "разомкнутого управления", являющегося программным, предложен алгоритм аппроксимации поверхностей уровня функции Беллмана.…”

“…В [19] для линейной системы с дискретным временем получены условия логарифмической вогнутости функции Беллмана и с использованием "разомкнутого управления", являющегося программным, предложен алгоритм аппроксимации поверхностей уровня функции Беллмана. В [9,10] для широкого класса систем предложен численный метод поиска оптимального управления в классе полиномов, основанный на сведении исходной задачи к так называемой проблеме моментов (см., например, [21]). В [21] найдены двусторонние оценки функции Беллмана и предложен алгоритм поиска субоптимального управления, основанный на ее нижней границе.…”

Representation of Chance-Constraints With Strong Asymptotic Guarantees

“…See for instance Henrion et al [5] for approximating the Lebesgue volume of a compact semi-algebraic set, Lasserre [12] for computing Gaussian measures of semialgebraic set, Lasserre [11] for "approximating" the Lebesgue decomposition of a measure with respect to another one. It has been used by Henrion and Korda [6] for approximating regions of attraction, by Korda et al [9] for approximating maximum controlled invariant sets, and more recently in Jasour and Lagoa [8] for a unifying treatment of some control problems.…”