Ausgehend von einer Arbeit von Pôlya (1933) uber die Konvergenz von Quadraturverfahren haben wir kürzlich einen Folgenkonvergenzbegriff im Raum der Riemann-integrierbaren Funktionen eingefuhr, unter dem sich dieser klassische Raum als Vervollstandigung der ste. tigen Funktionen darstellt. In der sich dann anschliel3enden Diskussion mäglicherAuswirkungen auf di'Approximationstheorie.wurde unter anderem der Satzvon BohmanKorovkin (mit und ohne Ordnung) von stetigen auf R.iemann-integrierbare Funktionen ubertragen. Die dabei erzielten Schranken wurden uber den ersten t-Modul ausgedruckt. Ein Ziel dieser Arbeit ist es, entsprechende Abschätzungen gegen den zwéiten T-Modul herzuleiten. Die Schärfe dieser Resultate wid dann mittels-eines quantitativen Beschränktheitsprinzips gezeigt. Schliel3lich werden die aligemeinen Ergebnisse im Zusammenhang mit Bernstein-Polynomen und linearcn, interpolierenden Splines getestet.-14cxojx.q OT oH61 paGoTar floiiva (1933) 0 C X OJ 1IMOCTB MeTOOB RBaApaTyp Mlii suejiu IIeaBHo noHnTIle CX0HM0CTH nocJlelxouaTeJlbnocTell B EIOCT}1CTBC IlHTerpnpyeMblx no PuslaHy)yIIxun5, npu KoTopoM DTO inaccwiecioe npocTpaucTBo oHa3a.noch90110J1HeH11eM Henpepain-HliIX yHH1uti. B xoje noc.uejyiou.1et1)1.HcHycclsH 0 B03M0HIIbIX nocnecTBHHx na Teoplilo annpoKdnMausm nepeHoclulacb, Me-. , y npo'iut, TeopeMa BoMaiIa-1-copon141,11-1a (C nopnxoi H 6e3 Hero) C IlenpepblBHhlx HaIIHTerpnpyeMh1e no PHMaHy yuiiuf1. ,LocTnrHyTbIe npis 3TOM rpaiinti norpewHocTH nwpaarnic 'lepea nepBa!n T-MoyJ1b. Oiia no uejieft OTotl pa60Tbl-BhIBOHTb cooTBeTcTBylouIIe OICHKI1 oTfroduTejmIIo BTOporO r-M0Jy.un. HOTOM nocpecTBoM ICoJlIl'iecTBeIIHoro HJUfIIHfla orpaHll'leIIHocTII n0Fa3bIBaeTcJ 'ITO 0TH pe3yii-Tam! HBJImOTCR TO4HLIMH. UaHoHeu, o6une peayJiami flOBeHI0TCH B CBHCH c noimHo-MaMH BepHwTeftHa 11 J1141-lefIlhlMH uhITepnoJlIlpyIoaulMn duJ1alHaMu. Inspired by work of POlya (193 on the convergence of quadrature formulas, we previously introduced a concept of sequential convergence in the space of-Riemann integrable functions under which this classical space is in fact the completion of Continuous functions. Discussing its consequences to approximation theory, among others we already extended the (qualitative as well as quantitative) Bohnian-Korovkin theorem from continuous to Riemann integrable functions. The error bounds obtained were given in terms of the first r-modul. One purpose of this paper is to derive corresponding results, involving the second r-modul. As a consequence of our previous quantitative uniform boundedness principle-it is then shown that these estimates are indeed sharp. The general results obtained are illustrated in connection with Brnstein polynomials and linear interpolating splines.