Convergence of iterates of a transfer operator, application to dynamical systems and to Markov chains

Conze, Jean-Pierre; Raugi, Albert

doi:10.1051/ps:2003003

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“…Une vitesse de convergence en n −τ /4 pour tout τ < 1 aétéétablie dans [4] pour des chaînes de Markov stationnaires,à espace d'états compact, associéesà un opérateur de transfert markovien. Dans [4] il n'est pas supposé que Q a une action quasi-compacte, et les conditions sur ξ sont assez faibles. Voirégalement [17].…”

Section: Supposons Queunclassified

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Vitesse de convergence dans le théorème limite central pour des chaînes de Markov fortement ergodiques

Hervé¹

2008

Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist.

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Reçu le 23 mars 2006 ; accepté le 2 décembre 2006Résumé. Soit Q une probabilité de transition sur un espace mesurable E, admettant une probabilité invariante, soit (Xn)n une chaîne de Markov associéeà Q, et soit ξ une fonction réelle mesurable sur E, et Sn = n k=1 ξ(X k ). Sous des hypothèses fonctionnelles sur l'action de Q et des noyaux de Fourier Q(t), nousétudions la vitesse de convergence dans le théorème limite central pour la suite ( Sn √ n )n. Selon les hypothèses nous obtenons une vitesse en n −τ /2 pour tout τ < 1, ou bien en n −1/2 . Nous appliquons la méthode de Nagaev en l'améliorant, d'une part grâcè a un théorème de perturbations de Keller et Liverani, d'autre part grâceà une majoration de |E[e itSn/ √ n ] − e −t 2 /2 | obtenue par une méthode de réduction en différence de martingale. Lorsque E est non compact ou ξ est non bornée, les conditions requises ici sur Q(t) (en substance, des conditions de moment sur ξ) sont plus faibles que celles habituellement imposées lorsqu'on utilise le théorème de perturbation standard. Par exemple, dans le cadre des chaînes V -géométriquement ergodiques ou des modèles itératifs Lipschitziens, on obtient dans le t.l.c. une vitesse en n −1/2 sous une hypothèse de moment d'ordre 3 sur ξ.Abstract. Let Q be a transition probability on a measurable space E which admits an invariant probability measure, let (Xn)n be a Markov chain associated to Q, and let ξ be a real-valued measurable function on E, and Sn = n k=1 ξ(X k ). Under functional hypotheses on the action of Q and the Fourier kernels Q(t), we investigate the rate of convergence in the central limit theorem for the sequence ( Sn √ n )n. According to the hypotheses, we prove that the rate is, either O(n −τ /2 ) for all τ < 1, or O(n −1/2 ). We apply the spectral Nagaev's method which is improved by using a perturbation theorem of Keller and Liverani, and a majoration of |E[e itSn/ √ n ] − e −t 2 /2 | obtained by a method of martingale difference reduction. When E is not compact or ξ is not bounded, the conditions required here on Q(t) (in substance, some moment conditions on ξ) are weaker than the ones usually imposed when the standard perturbation theorem is used in the spectral method. For example, in the case of V -geometric ergodic chains or Lipschitz iterative models, the rate of convergence in the c.l.t. is O(n −1/2 ) under a third moment condition on ξ.MSC : 60J05-60F05

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Section: Supposons Queunclassified

“…Voirégalement [17]. Mentionnons que la fonction ψ introduite au début du paragraphe est déjà utilisée dans les arguments de [4]. 7.…”

Section: Supposons Queunclassified

Vitesse de convergence dans le théorème limite central pour des chaînes de Markov fortement ergodiques

Hervé¹

2008

Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist.

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“…More recently, Chernov and Kleinbock (2001) proved that (1.7) is satisfied when (X k ) k≥0 are the iterates of Anosov diffeomorphisms preserving Gibbs measures and (A k ) belongs to a particular class of rectangles (called EQR rectangles). We also refer to Conze and Raugi (2003) for non-irreducible Markov chains satisfying (1.7). However some dynamical systems do not satisfy (1.7).…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Criteria for Borel-Cantelli lemmas with applications to Markov chains and dynamical systems

Dedecker,

Merlevède,

Rio

2019

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Let (X k ) be a strictly stationary sequence of random variables with values in some Polish space E and common marginal µ, and (A k ) k>0 be a sequence of Borel sets in E. In this paper, we give some conditions on (X k ) and (A k ) under which the events {X k ∈ A k } satisfy the Borel-Cantelli (or strong Borel-Cantelli) property. In particular we prove that, if µ(lim sup n A n ) > 0, the Borel-Cantelli property holds for any absolutely regular sequence. In case where the A k 's are nested, we show, on some examples, that a rate of convergence of the mixing coefficients is needed. Finally we give extensions of these results to weaker notions of dependence, yielding applications to non-irreducible Markov chains and dynamical systems.

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“…Examples: operator theory (locating the essential spectrum) [8,20]; C * -algebras [33]; groupoids [29,34]; infinite determinants [5,41]; anisotropic Sobolev spaces [4]; tiling spaces [32]; number theory (zeta functions) [22][23][24][25]; ergodic theory [9,13], dynamics [10,11,37]; optimization [19,28]; and quantum statistical mechanics [1,40].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

The algebra of harmonic functions for a matrix-valued transfer operator

Dutkay

Røysland

2007

Journal of Functional Analysis

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Convergence of iterates of a transfer operator, application to dynamical systems and to Markov chains

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Vitesse de convergence dans le théorème limite central pour des chaînes de Markov fortement ergodiques

Vitesse de convergence dans le théorème limite central pour des chaînes de Markov fortement ergodiques

Criteria for Borel-Cantelli lemmas with applications to Markov chains and dynamical systems

The algebra of harmonic functions for a matrix-valued transfer operator

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