Convergence of a ferromagnetic film model

Abstract

Abstract:In this note, we present a Γ-convergence type result for ferromagnetic films. We propose a model of films for which we could ensure the strong convergence of minimizers when the exchange parameter vanishes. In this model, the plate thickness is kept constant and the magnetization stays constant in the thickness of the film. RésuméConvergence pour un modèle de film mince en ferromagnétisme. Dans cette note, nous présentons un résultat de Γ-convergence pour les films de matériaux ferromagnétiques. Nous proposons un modèle pour lequel il est possible d'assurer une convergence forte des minimiseurs quand le paramètre d'échange tend vers zéro. Dans ce modèle, l'épaisseur du film est considérée comme constante et l'aimantation est contrainteà rester constante dans l'épaisseur du film. Version française abrégéeLe but de cette note est de présenter un résultat obtenu par les auteurs dans [1] concernant l'étude mathématique d'un modèle asymptotique pour les films ferromagnétiques. Le modèle du micromagnétisme aété introduit par W.F. Brown [5] pour décrire le comportement de l'aimantation dans les matériaux ferromagnétiques. Cette approche thermodynamique s'appuie sur une descriptionénergétique de ces matériaux. Dans la version statique de cette théorie, qui nous intéresse pour cette note, lesétats d'équilibre sont les minimiseurs de l'énergie totale (3) dont les contributions sont données par (4), (5) et (6). On s'intéresse alors au problème de minimisation suivant :Trouverpour des ensembles de configurations admissibles M 1 (Ω) inclus dans H 1 (Ω; S 2 ) où Ω = ω×]0, η[ est le domaine de R 3 contenant le matériau ferromagnétique.Plusieursétudes ont déjaété effectuées sur des problèmes du même type. Dans le cas d'un paramètre d'échange fixé mais pour uneépaisseur η tendant vers zéro, la convergence des minimiseurs aétéétudiée par G. Carbou [6] et G. Gioia et R.D. James [14]. Pour ce modèle, les minimiseurs du problème limite sont desétats constants sur la plaque, ce qui ne rend pas compte de la répartition en domaines réguliers observée [16] et décrite par la construction de van den Berg [22]. Par la suite, deux autresétudes furent effectuées. La première par A. Desimone, R. Kohn, S. Müller and F. Otto [9,10,11,12]. Dans ce modèle, l'épaisseur et la constante d'échange tendent vers zéro ; sans entrer dans les détails, pour une relation bien choisie entre les deux paramètres, les auteurs montrent un résultat de Γ-convergence de l'énergie pour la topologie faible de L 2 (ω). 2 FRANÇ OIS ALOUGES AND STÉPHANE LABBÉUn second modèle, moins proche de la physique a ensuiteétéétudié par T. Rivière et S. Serfaty [19,20] puis F. Alouges, T. Rivière et S. Serfaty [2] ; ici, l'épaisseur η est infinie et ce modèle rend compte de phénomènes physiques importants tels que les structures en "cross-tie". Il permet de plus d'assurer une convergence forte des minimiseurs.Dans cette note, nous présentons un modèle intermédiaire entre les deux familles précédentes. L'objectif est d'avoir, comme dans le premier cas, une modélisation pro...

Ferromagnetic thin multi-structures

“…In [28] the magnetization is moreover constrained to be in the horizontal plane, which avoids the vortices. F. Alouges and S. Labbé [2] proposed a model of films with strong convergence of minimizers when the exchange parameter vanishes and with vertically invariant configurations on the cylindrical domain. For reproducing the non uniform states observed experimentally in thin films, very different regimes were considered by A. Desimone, R.V.…”

Metastability of Wall Configurations in Ferromagnetic Nanowires

“…Guès and Sueur study in [22] non planar walls dynamics but only in a short time interval. In the 2-dimensional case, a wide literature in mathematics gives a few elements to describe the formation of static walls in ferromagnetic thin layers (see [1], [2], [19], [20], [34] and the references therein). The understanding of walls dynamics in one dimensional devices like ferromagnetic nanowires is very important for the applications, in particular for the storage of digital information (see [37]).…”

$$nD-pD$$ n D - p D Dimensional reduction of micromagnetic structures

“…In [17] and [18], the authors studied a micromagnetic thin film with degenerate exchange energy. Other models of micromagnetic thin films were proposed in [1,2] and [24]. For related problems, some interesting regularity theorems were obtained in [19].…”