Convergence criteria

Lorentzen, Lisa; Waadeland, Haakon

doi:10.2991/978-94-91216-37-4_3

Cited by 7 publications

(16 citation statements)

References 0 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…Consider a two-variant CF of the form (2), belonging to the class D. In some cases, one may approximate its value using the following classic methods: (A) Computing classical approximants S n (0) for sufficiently large n, (B) Applying the methods of [7] to even (odd) part of CF, (C) Applying the methods of [10] to even (odd) part of CF, (D) Using equivalent transformation in order to obtain limit 2-periodic CF, and using the techniques given in [7], (E) Using the recent methods of Paszkowski [12]; for more details on numerical computation of CFs see, e.g., [9,Section 5].…”

Section: Numerical Resultsmentioning

confidence: 99%

See 1 more Smart Citation

A method of convergence acceleration of some continued fractions II

Nowak

2012

Numer Algor

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

Section: Numerical Resultsmentioning

confidence: 99%

“…One can find a lot of examples involving CFs ∈ D kl in Perron's book [13]. More CF expansions can be found in (chronological order): [9,16] and [3]. The authors of [3] have developed the website which shows the applications of continued fractions to approximation of many special functions (see http://www.cfhblive.ua.ac.be/).…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

A method of convergence acceleration of some continued fractions II

Nowak

2012

Numer Algor

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Продовжили цi дослiджен-ня Ланге [11], Трон [7,16], Лорентцен [13] та iншi. Гiллястi ланцюговi дроби (ГЛД) є багатовимiрними узагальненнями неперервних дро-бiв.…”

Section: вступunclassified

Some convergence regions of branched continued fractions of special form

Baran

2013

Carpathian Math. Publ.

View full text Add to dashboard Cite

Для гiллястих ланцюгових дробiв спецiального вигляду встановлено деякi круговi та пара-болiчнi областi збiжностi.Ключовi слова i фрази: гiллястий ланцюговий дрiб, область збiжностi.Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, 3b Naukova str., 79060, Lviv, Ukraine E-mail: boe13@ukr.net ВСТУПБагато критерiїв збiжностi неперервних дробiв носять характер областей збiжностi, тобто вказуються такi областi у комплекснiй площинi, що якщо елементи a k , b k належать цим областям, то неперервний дрiбзбiгається. Областi збiжностi для неперервних дробiв вперше зустрiчаються у роботах Ворпiцького (1865), Прiнгсгейма (1899) i Ван Фле-ка (1901) [9]. Особливе мiсце займають параболiчнi та спаренi областi збiжностi. Перша параболiчна область з вiссю параболи вздовж дiйсної осi була дослiджена Скоттом i Уол-лом (1940) [15]. Огляд узагальнень параболiчної теореми поданий у монографiї Джоунса i Трона [9]. Важливим застосуванням цих результатiв для функцiональних неперервних дробiв є кардiоїднi областi збiжностi. Спареними областями збiжностi називаються такi пари областей E 1 , E 2 комплексної площини, що умови a 2k−1 ∈ E 1 i a 2k ∈ E 2 , k ≥ 1, гарантують збiжнiсть дробуa k 1 . Першi спаренi областi збiжностi отримали Лейтон i Уолл (1936) [12]. Продовжили цi дослiджен-ня Ланге [11], Трон [7,16], Лорентцен [13] та iншi. Гiллястi ланцюговi дроби (ГЛД) є багатовимiрними узагальненнями неперервних дро-бiв. Рiзнi типи областей збiжностi для рiзних конструкцiй ГЛД дослiджували у своїх ро-ботах Д. Боднар [5,6] Найпростiшими за структурою, аналогiчнi структурi кратних степеневих рядiв, є гiл-лястi ланцюговi дроби з нерiвнозначними змiнниминазивається n-тим пiдхiдним дробом ГЛД (1). У данiй статтi для гiллястих ланцюгових дробiв з нерiвнозначними змiнними вста-новлено деякi областi збiжностi. ДЕЯКI КРУГОВI ОБЛАСТI ЗБIЖНОСТIРозглянемо функцiональний ГЛД з нерiвнозначними змiнними виглядуЗалежно вiд значення величини l, розiб'ємо множину I на три пiдмножини I = I 1 ∪ I 2 ∪ I 3 , якi попарно не перетинаються:Тодi ГЛД (2) рiвномiрно збiгається в замкненiй областiДоведення. а) Очевидними є наступнi оцiнки:Враховуючи умови (4)-(6), маємоОтже, для дробу (2) виконуються умови теореми, яка є багатовимiрним аналогом те-ореми Лейтона-Уолла для ГЛД з нерiвнозначними змiнними [4]. Тому ГЛД (2) збiгається i справджуються вiдповiднi оцiнки швидкостi збiжностi. б) Позначимо c 11 . . . 1Враховуючи умови (4)-(6), маємо:Iз формули рiзницi пiдхiдних дробiв ГЛД [5] для неперервного дробу (7) маємоНаслiдок 1.1. Нехай елементи c k неперервного дробу (9) є комплексними числами, якi задовольняють хоча б одну iз умов:Тодi дрiб (9) збiгається i справджується оцiнка швидкостi збiжностi (8).Умови а) у наслiдку 1.1 є аналогом теореми Лейтона-Уолла для неперервного дробу вигляду (9). Данi умови дають ширшi областi збiжностi, нiж теорема Лейтона-Уолла [12]. Умови б)-в) є окремими випадками вiдповiдно теорем Трона i Ланге для спарених кру-гових областей збiжностi неперервних дробiв [9,11]. Цi умови визначають вужчi областi збiжностi, нiж у теоремах Т...

show abstract

“…investigated p-periodic fractions. The reviews of corresponding results can be found in [5][6][7]. It is known (see [5, p. 181]), that the set Ω = {z ∈ C : | arg(z + 1/4)| < π} (2) is the convergence set of the 1-periodic continued fraction…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%