Continuous modules are clean

Camillo, Victor; Khurana, Dinesh; Lam, T. Y.; Nicholson, W. K.; Zhou, Yiqiang

doi:10.1016/j.jalgebra.2006.06.032

Cited by 76 publications

(54 citation statements)

References 20 publications

(8 reference statements)

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…4.2). On the other hand, going back to the idempotent f , we have A = ker (f ) and B = im (f ), so the equation M = A ⊕ B is precisely the "ABAB-decomposition" of a with respect to the strongly clean representation a = f + u, in the sense of [3] (after [15]). The inclusion relations K ⊆ A ⊆ I and K ⊆ B ⊆ I could have been checked directly without invoking Theorem 3.6(1) or Theorem 4.5.…”

Section: Theorem 45 For Any Modulementioning

confidence: 99%

Two-Sided Properties of Elements in Exchange Rings

Khurana

Lam

Nielsen

2015

Algebr Represent Theor

View full text Add to dashboard Cite

For any element a in an exchange ring R, we show that there is an idempotent e ∈ aR ∩ R a such that 1 − e ∈ (1 − a) R ∩ R (1 − a). A closely related result is that a ring R is an exchange ring if and only if, for every a ∈ R, there exists an idempotent e ∈ R a such that 1 − e ∈ (1 − a) R. The Main Theorem of this paper is a general two-sided statement on exchange elements in arbitrary rings which subsumes both of these results. Finally, applications of these results are given to the study of the endomorphism rings of exchange modules.

show abstract

Section: Theorem 45 For Any Modulementioning

confidence: 99%

Two-Sided Properties of Elements in Exchange Rings

Khurana

Lam

Nielsen

2015

Algebr Represent Theor

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Nicholson (1977) dalam Nicholson dan Zhou [6] memberikan definisi bahwa suatu ring R dikatakan ring bersih apabila setiap elemen dari ring R merupakan elemen bersih, sedangkan suatu elemen dalam suatu ring R dikatakan bersih apabila dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan suatu elemen idempoten dan suatu elemen unit dari ring R. Camillo et.al. [1] memberikan definisi bahwa suatu modul atas ring R dikatakan bersih apabila ring endomorfisma dari modul tersebut merupakan ring bersih. …”

Section: Pendahuluanunclassified

“…Selain itu, Lam [4] juga memberikan sifat elemen idempoten dalam ring endomorfisma dari suatu modul quasi-kontinu, sedangkan beberapa sifat ring endomorfisma dari modul kontinu dan quasi-kontinu lainnya diberikan oleh Camillo et.al. [1] …”

Section: Metode Penelitianunclassified

“…Camillo et.al. [1] menunjukkan bahwa setiap modul kontinu merupakan modul bersih. Lam [4] 66 menunjukkan bahwa setiap modul quasi injektif merupakan modul kontinu.…”

unclassified

“…Sari, [7] memperoleh hasil ini dengan menggunakan sifat bahwa setiap modul merupakan submodul dari modul injektif (Hazewinkel et.al.,[3], dan setiap modul injektif-murni merupakan modul bersih (Camillo et. al., [1] Dengan menggunakan Kriteria Baer, berikut diberikan contoh modul injektif lainnya.…”

unclassified

See 2 more Smart Citations

Setiap Modul merupakan Submodul dari Suatu Modul Bersih

Sari

Wijayanti

2015

JMI

View full text Add to dashboard Cite

ABSTRAKDiberikan ring R dengan elemen satuan. Suatu ring R dikatakan bersih apabila setiap elemennya dapat dinyatakan dalam bentuk jumlahan suatu elemen unit dan suatu elemen idempoten dari ring R, sedangkan suatu Rmodul M dikatakan bersih apabila ring endomorfismanya merupakan ring bersih. Berdasarkan sifat bahwa modul kontinu merupakan modul bersih, dalam penelitian ini ditunjukkan bahwa setiap modul merupakan submodul dari suatu modul bersih.. Kata kunci: ring bersih, submodul, modul bersih ABSTRACT Given any ring R with unity. A ring R is called clean if each element of R is the sum of a unit and an idempotent, while an R-module M is called clean if its endomorphism ring is clean. Based on the property that every continuous modules is clean, in this study, it is shown that every module is a submodule of a clean module. Keywords:clean ring, submodule, clean module PendahuluanPada keseluruhan tulisan ini, ring yang digunakan merupakan ring dengan elemen satuan, dan yang dimaksud modul adalah modul kanan, sedangkan notasiA yaitu fungsi yang memetakan. Lebih lanjut lagi, himpunan semua bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan bulat modulo n secara berturut-turut dinotasikan dengan Z, Q dan Zn. Nicholson (1977) dalam Nicholson dan Zhou [6] memberikan definisi bahwa suatu ring R dikatakan ring bersih apabila setiap elemen dari ring R merupakan elemen bersih, sedangkan suatu elemen dalam suatu ring R dikatakan bersih apabila dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan suatu elemen idempoten dan suatu elemen unit dari ring R. Camillo et.al. [1] memberikan definisi bahwa suatu modul atas ring R dikatakan bersih apabila ring endomorfisma dari modul tersebut merupakan ring bersih.

show abstract