Conformally flat homogeneous pseudo-Riemannian four-manifolds

Abstract

We obtain a complete classification of four-dimensional conformally flat homogeneous pseudo-Riemannian manifolds. Introduction.Conformally flat manifolds are a classical field of investigation in pseudo-Riemannian geometry. In this framework, it is a natural problem to classify conformally flat homogeneous pseudo-Riemannian manifolds. A conformally flat (locally) homogeneous Riemannian manifold is (locally) symmetric [17]. Hence, it admits as univeral covering either a space form R n , S n (k),In pseudo-Riemannian settings, the problem of classifying conformally flat homogeneous manifolds is more complicated and interesting. Three-dimensional examples were classified independently in [8] and [3], showing the existence of non-symmetric examples. Using the general results introduced in [8], the same authors contributed in [9] to solve the classification problem for Lorentzian manifolds of any dimension, under some assumptions on the structure of the eigenvalues of the Ricci operator of such a manifold. Up to our knowledge, no classification results have been obtained yet for metrics of different signatures, except for the cases with a diagonalizable Ricci operator [8].In the present paper we shall provide a complete classification of four-dimensional conformally flat homogeneous pseudo-Riemannian manifolds. A fundamental step for this classification will be to understand which forms (Segre types) of the Ricci operator, and under which restrictions, may exist for conformally flat pseudo-Riemannian manifolds. As we shall see, nondegenerate forms of the Ricci operator can only occur when a conformally flat homogeneous pseudo-Riemannian four-manifold is (locally) isometric to some Lie group, while the possible degenerate forms are also realized by some homogeneous spaces with nontrivial isotropy, for which we can use Komrakov's classification [10] to deduce all possible examples.Because of the results obtained in [9], we shall focus mainly on the case of a pseudo-Riemannian metric of neutral signature. However, we shall also explain how our results apply to the Lorentzian case.The paper is organized in the following way. In Section 2, we report some basic information on four-dimensional conformally flat pseudo-Riemannian manifolds and describe

Application of Computer Mathematics Systems to the Study of Homogeneous (pseudo)Riemannian Manifolds with the Trivial Schouten — Weyl Tensor

“…Например, Дж. Кальварузо и А. За-ем классифицировали левоинвариантные псевдо-римановые метрики Эйнштейна, конформно плос-кие метрики и метрики с параллельным тензо-ром Риччи на четырехмерных группах Ли [3][4][5]. Кроме того, А. Заем и А. Гаджи-Бадали клас-сифицировали эйнштейново-подобные псевдори-мановы 4-многообразия с нетривиальной группой изотропии [6].…”

“…Следуя стандартной терминологии (см., на-пример, [3,11]), определим тип Сегре самосопря-женного оператора, который записывается между скобок { } и обозначает размеры клеток Жордана в разложении матрицы оператора. Круглые скоб-ки группируют вместе различные блоки, соответ-ствующие одному собственному значению.…”

“…Напри-мер, все возможные типы Сегре оператора Риччи в четырехмерном случае приведены в таблице 1 (см., например, [3] Выро-жденные…”

“…Отметим, что подобные математические моде-ли для метрических групп Ли приводились в ра-ботах [12, 13], а для однородных (псевдо)римано-вых пространств в работах [3,7,14]. Также за-метим, что алгоритм, предлагаемый в данной ра-боте, отличается от техники использования обоб-щенных базисов Милнора (см.…”

Application of Symbolic Computation Packages for Investigation of Algebraic Ricci Solitons in Homogeneous (Pseudo)Riemannian Manifolds

“…Отметим, что подобные математические моде-ли для метрических групп Ли приводились в ра-ботах [14][15][16][17], а для однородных (псевдо)римано-вых пространств в работах [18,19].…”