Computation of characteristic classes of a manifold from a triangulation of it

Gaifullin, Alexander A.

doi:10.1070/rm2005v060n04abeh003671

Cited by 8 publications

(10 citation statements)

References 28 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…The interest to such combinatorial data caused among others by the fact that the Pontryagin numbers of a manifold can be computed from the set of isomorphism classes of links of its vertices. The existence of functions computing the Pontryagin numbers from the set of isomorphism classes of links of vertices follows from a result of N. Levitt and C. Rourke [23] (see also [17], [18]). The problem of finding explicit formulae will be discussed below.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…Unfortunately, until now there is no obtained in this way explicit combinatorial formula that computes a characteristic cycle from a triangulation of a manifold. Author's paper [18] is devoted to the comparison of different formulae for the Pontryagin classes of triangulated manifolds.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…Following [23], [17], [18] we assume that the required characteristic cycle of a combinatorial manifold K is given by a universal local formula…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

See 2 more Smart Citations

The construction of combinatorial manifolds with prescribed sets of links of vertices

Gaifullin¹

2008

Izv. Math.

View full text Add to dashboard Cite

Abstract. To each oriented closed combinatorial manifold we assign the set (with repetitions) of isomorphism classes of links of its vertices. The obtained transformation L is the main object of study of the present paper. We pose a problem on the inversion of the transformation L. We shall show that this problem is closely related to N. Steenrod's problem on realization of cycles and to the Rokhlin-Schwartz-Thom construction of combinatorial Pontryagin classes. It is easy to obtain a condition of balancing that is a necessary condition for a set of isomorphism classes of combinatorial spheres to belong to the image of the transformation L. In the present paper we give an explicit construction providing that each balanced set of isomorphism classes of combinatorial spheres gets into the image of L after passing to a multiple set and adding several pairs of the form (Z, −Z), where −Z is the sphere Z with the orientation reversed. This construction enables us, for a given singular simplicial cycle of a space R, to construct explicitly a combinatorial manifold M and a mapping ϕ :for some positive integer r. The construction is based on resolving singularities of the cycle ξ. We give applications of our main construction to cobordisms of manifolds with singularities and cobordisms of simple cells. In particular, we prove that every rational additive invariant of cobordisms of manifolds with singularities admits a local formula. Another application is the construction of explicit (though inefficient) local combinatorial formulae for polynomials in the rational Pontryagin classes of combinatorial manifolds.

show abstract

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

See 1 more Smart Citation

The construction of combinatorial manifolds with prescribed sets of links of vertices

Gaifullin¹

2008

Izv. Math.

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Существование функций, вычисляющих числа Понтрягина по набору классов изоморфизма линков, следует из результата Н. Левитта и К. Рурка [1] (см. так-же [2], [3]). Вопрос о явных формулах будет обсуждаться ниже.…”

Section: § 1 введениеunclassified

“…Одна-ко получить на этом пути явную формулу, вычисляющую характеристический цикл по триангуляции многообразия, пока никому не удалось. Сравнению раз-личных формул для классов Понтрягина триангулированных многообразий по-священ обзор автора [3].…”

Section: § 1 введениеunclassified

Построение Комбинаторных Многообразий С Заданными Наборами Линков Вершин

Gaifullin¹

2008

Izv. RAN. Ser. Mat.

View full text Add to dashboard Cite

Построение комбинаторных многообразий с заданными наборами линков вершинИзучается преобразование L, сопоставляющее каждому ориентирован-ному замкнутому комбинаторному многообразию набор классов изомор-физма линков его вершин. Ставится задача об обращении преобразова-ния L. Показано, что эта задача тесно связана с классической проблемой Стинрода о реализации циклов и конструкцией Рохлина-Шварца-Тома комбинаторных классов Понтрягина. Получено условие сбалансированно-сти, являющееся необходимым для того, чтобы набор классов изоморфиз-ма комбинаторных сфер принадлежал образу преобразования L. Дана явная конструкция, показывающая, что каждый набор классов изомор-физма комбинаторных сфер, удовлетворяющий этому условию сбаланси-рованности, попадает в образ преобразования L после перехода к кратно-му набору и добавления некоторого количества пар вида (Z, −Z), где −Z есть сфера Z с обращенной ориентацией. Эта конструкция позволяет по каждому сингулярному симплициальному циклу ξ пространства X явно построить комбинаторное многообразие M и отображение ϕ : M → X та-кие, что ϕ * [M ] = r[ξ] для некоторого натурального числа r. Построение проведено с помощью разрешения особенностей цикла ξ. Даны приложе-ния основной конструкции к изучению кобордизмов многообразий с осо-бенностями и кобордизмов простых клеток. В частности, доказано суще-ствование локальных формул для всех рациональных аддитивных инва-риантов кобордизмов с особенностями. В качестве приложения построены явные, хотя и неэффективные, локальные комбинаторные формулы для полиномов от рациональных классов Понтрягина комбинаторных много-образий.Библиография: 38 наименований. § 1. ВведениеКомбинаторной сферой называется симплициальный комплекс, кусочно ли-нейно гомеоморфный границе симплекса; комбинаторным многообразием на-зывается симплициальный комплекс, линк каждой вершины которого является комбинаторной сферой. Все рассматриваемые многообразия предполагаются замкнутыми. Изоморфизмом ориентированных комбинаторных многообразий мы называем симплициальное отображение, имеющее симплициальное обрат-ное и сохраняющее ориентацию.Каждой триангуляции многообразия можно сопоставлять различные харак-теризующие ее комбинаторные данные. Простейшим примером таких данных является f -вектор (f 0 , f 1 , . . . , f n ), где через f i обозначено количество i-мерных Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 08-01-91855-КО-а) и Про-граммы Президента РФ "Поддержка ведущих научных школ" (грант

show abstract

Localizable invariants of combinatorial manifolds and Euler characteristic

2014

Arch. Math.

View full text Add to dashboard Cite

Computation of characteristic classes of a manifold from a triangulation of it

Cited by 8 publications

References 28 publications

The construction of combinatorial manifolds with prescribed sets of links of vertices

The construction of combinatorial manifolds with prescribed sets of links of vertices

Построение Комбинаторных Многообразий С Заданными Наборами Линков Вершин

Localizable invariants of combinatorial manifolds and Euler characteristic

Contact Info

Product

Resources

About