Commuting Graphs of Matrix Algebras

On diameters estimations of the commuting graphs of Sylow $p$-subgroups of the symmetric groups

“…Гипотеза о существовании ограничения на величину диаметров графов коммутатив-ности косвенно подтверждалась наличием такого предела в классах многих конечных групп [2], [3], [4], а также ограниченностью диаметров соответствующих графов для сим-метрических групп [6]. Аналогичная ситуация возникает при изучении p-групп: диаме-тры графов коммутативности силовских p-подгрупп симметрических групп не превы-шают 4 (теоремы 3 и 4), но при этом все подгруппы бесконечной серии (предложен-ной в [7]) с возрастающими диаметрами являются 2-группами (нильпотентыми класса 2).…”

“…Следует заметить, что аналогичное утверждение в классе полугрупп тоже неверно, т. е. суще-ствуют полугруппы со связными графами коммутативности как угодно большого диа-метра [5]. Критерии связности графов коммутативности, а также оценки диаметров свя-зных графов представлены, например, в [6] (для симметрических и знакопеременных групп), [2], [3], [4] (для некоторых классов линейных групп).…”

On diameter of the commuting graph of a full matrix algebra over a finite field

“…In contrast, if F is not algebraically closed then the commuting graph of M n (F) might be disconnected, as the example of F = Q, the field of rational numbers, demonstrates, see Akbari, Bidkhori, and Mohammadian [1,Remark 8]. Actually, by [1,Theorem 6], Γ(M n (F)) is connected if and only if for every n-degree field extension K of F there exists a proper intermediate subfield. In particular, for finite field F the graph Γ(M n (F)) is disconnected if and only if n is a prime [1,Corollary 7].…”

“…Actually, by [1,Theorem 6], Γ(M n (F)) is connected if and only if for every n-degree field extension K of F there exists a proper intermediate subfield. In particular, for finite field F the graph Γ(M n (F)) is disconnected if and only if n is a prime [1,Corollary 7]. It was conjectured in [2] that the diameter of a connected commuting graph of M n (F) is at most five.…”

Graphs Defined by Orthogonality

“…For fields that are not algebraically closed the situation is completely different; e.g., if F is the field of rational numbers, then Γ(M n (F)) never is connected (see [29,Remark 8]). A necessary and sufficient condition for Γ(M n (F)) to be connected is given in [3,Theorem 6], where it is proved that Γ(M n (F)), n ≥ 3, is connected if and only if every field extension of F of degree n contains at least one proper intermediate subfield. In the case where the commuting graph Γ(M n (F)) is connected, its diameter is known to be at most six, and it is conjectured that actually it is at most five, see [9,Theorem 17] and [9,Conjecture 18].…”