Combinatorics of finite abelian groups and Weil representations

Abstract

The Weil representation of the symplectic group associated to a finite abelian group of odd order is shown to have a multiplicity-free decomposition. When the abelian group is p-primary, the irreducible representations occurring in the Weil representation are parametrized by a partially ordered set which is independent of p. As p varies, the dimension of the irreducible representation corresponding to each parameter is shown to be a polynomial in p which is calculated explicitly. The commuting algebra of the Weil representation has a basis indexed by another partially ordered set which is independent of p. The expansions of the projection operators onto the irreducible invariant subspaces in terms of this basis are calculated. The coefficients are again polynomials in p. These results remain valid in the more general setting of finitely generated torsion modules over a Dedekind domain.Comment: 26 pages, 3 figures Revised version, to appear in Pacific Journal of Mathematic

Optimal Line Packings From Finite Group actions

“…Recall that an order ideal in P λp is a (possibly empty) set I ⊆ P λp with the property that Taken together, these yield the following corollary, implicitly contained in the proof of [17,Theorem 4.5]. and by Theorem 3.13, f 1 * f 2 is constant on Sp(K)-orbits.…”

“…Our proof of Theorem 5.3 requires a detailed understanding of the orbits of Sp(K) on K, which we now review. The following is due to Dutta and Prasad [16,17]. By the Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Groups, we can write A = p A p , where the direct product is over all primes p dividing |A|, and each A p has the form A p ∼ = Z p λ p,1 × · · · × Z p λ p,lp for a sequence λ p = (λ p,1 , . .…”

“…[16, Theorem 5.4]. The order ideals of P λp are in one-to-one correspondence with the Aut(A p )-orbits of A p [17,. Theorem 4.5].…”

Restriction de la représentation de Weil à un sous-groupe compact maximal

“…L'application µ * commute avec l'action de Sp(U ⊥ ) par automorphismes dans les deux groupes de Heisenberg. Par ailleurs, dans [6] Dutta et Prasad démontrent que les représentations de Weil du groupe symplectique d'un module symplectique de type fini sur un anneau local fini et principal se décompose en irréductibles avec multiplicité 1 et donnent une description de ces derniers en terme de la combinatoire des orbites du groupe symplectique dans le module symplectique. Cependant, leur description ne fait pas apparaître explicitement ces irréductibles comme modules induits.…”

“…Dans [4] Cliff, McNeilly et Szechtman ont remarqué que leurs résultats permettaient d'obtenir la décomposition en irréductible de la restriction de la représentation de Weil à K B lorsque B est autodual ou vérifie B = ̟B * . D'autre part, dans [6] Dutta et Prasad ont démontré que la représentation de Weil du groupe symplectique construit sur un groupe abélien fini se décompose sans multiplicité. Ils ont décrit cette décomposition en terme de la combinatoire des orbites du groupe abélien sous l'action de son groupe d'automorphismes et remarqué que l'on peut en déduire les mêmes résultats pour la représentation du groupe symplectique d'un module symplectique de type fini sur un anneau fini local et principal.…”