Classical solution for the first mixed problem for the Klein-Gordon-Fock type equation with inhomogeneous matching conditions

Abstract

КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ зАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА КЛЕЙНА-ГОРДОНА-ФОКА С НЕОДНОРОДНЫМИ УСЛОВИЯМИ СОГЛАСОВАНИЯ Аннотация. Рассматривается первая смешанная задача для уравнения типа Клейна-Гордона-Фока в полуполосе в случае, когда выполняются неоднородные условия согласования. С помощью метода характеристик доказывается, что выполнение однородных условий согласования является не только достаточным, но и необходимым для существования единственного классического решения, определенного на всей полуполосе. В случае, когда выполнены неоднородные условия согласования, строится эквивалентная задача сопряжения, в которой условия сопряжения задаются на характеристиках. Построенные неоднородные условия согласования однозначно определяют величину разрывов решения или его производных на характеристиках, причем данные разрывы сохраняются с ростом аргумента по времени. При решении данной задачи возникают эквивалентные интегральные уравнения Вольтерры второго рода. Для полученных интегральных уравнений доказано существование единственного решения в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций при заданной гладкости данных. Названный подход позволяет строить как точные решения, так и приближенные. Точные решения могут быть найдены в том случае, если удается разрешить эквивалентные интегральные уравнения Вольтерры. В противном случае можно найти приближенное решение задачи либо в аналитическом, либо в численном виде. При этом при построении приближенного решения существенными оказываются условия согласования, которые необходимо учитывать при использовании численных методов решения задачи. Ключевые слова: уравнение Клейна-Гордона-Фока, условия сопряжения, метод характеристик Для цитирования. Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения типа Клейна-Гордона-Фока с неоднородными условиями согласования / В. И.

Classical solution of a problem for a system of equations from mechanics with nonsmooth Cauchy conditions

“…На данный момент для телеграфного уравнения изучены в основном следующие типы граничных задач: задача Коши [6,[8][9][10][11][12], смешанные задачи в полуполосе [6,[13][14][15][16], смешанная задача в случае сопряжения разнородных областей в виде полуполос [17], смешанная задача в криволинейной полуполосе [18,19]. Но следует сказать, что в настоящее время представляет интерес рассмотрение задач в полуплоскости для Клейна -Гордона -Фока, хотя в [20] строится формальное решение такой задачи с однородными условиями Коши, но не изучается вопрос единственности решения.…”

Classical solution of the mixed problem for the Klein – Gordon – Fock type equation in the half-strip with curve derivatives at boundary conditions

“…. v t x C Q ∈ Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы приведено в работах [8,9]. Так как задача (1)-(3) линейна, то при выполении теоремы 1 она сводится к решению задачи для однородного уравнения Lu = 0, т. е. задачи…”

“…В работе [6] получены не обходимые и достаточные условия существования единственного решения в классе 2 ( ) C Q для первой смешанной задачи. Для задачи с косыми производными в случае, когда направление косой производной в граничных условиях (9) не совпадает с характеристическим, поступаем аналогично. Определим начальные функции φ (k) и ψ (k) следующим образом:…”