Classical-quantum versus exact quantum results for a particle in a box

Abstract

Classical-quantum versus exact quantum results for a particle in a box (Resultados clássico-quânticos versus resultados quânticos exatos para uma partícula em uma caixa)The problems of a free classical particle inside a one-dimensional box: (i) with impenetrable walls and (ii) with penetrable walls, were considered. For each problem, the classical amplitude and mechanical frequency of the τ -th harmonic of the motion of the particle were identified from the Fourier series of the position function. After using the Bohr-Sommerfeld-Wilson quantization rule, the respective quantized amplitudes and frequencies (i.e., as a function of the quantum label n) were obtained. Finally, the classical-quantum results were compared to those obtained from modern quantum mechanics, and a clear correspondence was observed in the limit of n ≫ τ .Foram considerados os problemas de uma partícula livre clássica dentro de uma caixa unidimensional: (i) com paredes impenetráveis e (ii) com paredes penetráveis. Para cada problema, foram identificados a partir da série de Fourier da função de posição, a amplitude clássica ea freqüência mecânica clássica do τ -ésimo harmônico do movimento da partícula. Depois de usar a regra de quantização de Bohr-Sommerfeld-Wilson, foram obtidos a respectivas amplitudes e freqüências quantizadas (istoé, como uma função do rótulo quantum n). Finalmente, os resultados clássico-quânticos foram comparados com aqueles obtidos a partir da moderna mecânica quântica, e uma clara correspondência foi observada no limite de n ≫ τ . Palavras-chave: mecânica clássica, partícula em uma caixa, harmônicos de Fourier, harmônicos de Heisenberg.

Classical path from quantum motion for a particle in a transparent box

“…The quantum case of a particle in a transparent box has been previously considered to some extent. For example, briefly in an interesting study on Heisenberg's equations of motion for the particle confined to a box [18]; as an example to illustrate the agreement between the periodic motion of classical particles and quantum jumps for large principal quantum numbers [19] (to mention only two examples). The present article is organized as follows: in section 2, we introduce and discuss the classical and quantum versions of the problem at hand.…”