Classes De Steinitz d'EXTENSIONS Non Abéliennes À Groupe De Galois d'ORDRE 16 Ou Extraspécial d'ORDRE 32 Et Problème De Plongement

Abstract

Soient k un corps de nombres et Cl (k) son groupe des classes. Soit Γ un groupe non abélien d'ordre 16, ou un groupe extraspécial d'ordre 32. Soit Rm(k, Γ) le sous-ensemble de Cl (k) formé par les éléments qui sont réalisables par les classes de Steinitz d'extensions galoisiennes de k, modérément ramifiées et dont le groupe de Galois est isomorphe à Γ. Lorsque Γ est le groupe modulaire d'ordre 16, on suppose que k contienne une racine primitive 4ème de l'unité. Dans cet article on montre que Rm(k, Γ) est le groupe Cl (k) tout entier si le nombre des classes de k est impair. On étudie un problème de plongement en liaison avec les classes de Steinitz dans la perspective de l'étude des classes galoisiennes réalisables. On prouve que pour tout c ∈ Cl (k), il existe une extension quadratique de k, modérée, dont la classe de Steinitz est c, et qui est plongeable dans une extension galoisienne de k, modérée et à groupe de Galois isomorphe à Γ. Let k be a number field and Cl (k) its class group. Let Γ be a nonabelian group of order 16 or an extra-special group of order 32. Let Rm(k, Γ) be the subset of Cl (k) consisting of those classes which are realizable as Steinitz classes of tame Galois extensions of k with Galois group isomorphic to Γ. When Γ is the modular group of order 16, we assume that k contains a primitive 4th root of unity. In the present paper, we show that Rm(k, Γ) is the full group Cl (k) if the class number of k is odd. We study an embedding problem connected with Steinitz classes in the perspective of studying realizable Galois module classes. We prove that for all c∈ Cl (k), there exist a tame quadratic extension of k, with Steinitz class c, and which is embeddable in a tame Galois extension of k with Galois group isomorphic to Γ.

An explicit candidate for the set of Steinitz classes of tame Galois extensions with fixed Galois group of odd order

“…Concerning nonabelian groups, there are a lot of results for groups of some particular shape, however sometimes with restrictions on the base field k. A list of recent results includes [1], [2], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [11], [12], [13], [18], [20], [21] and [22].…”