Characters of Speh representations and Lewis Caroll identity

Abstract

Abstract. We give a new and elementary proof of Tadić formula for characters of Speh representations of GL(n, A), A a central division algebra over a non-Archimedean local field, based on Lewis Caroll determinantal identity.

On a determinantal formula of Tadić

“…As mentioned before, the formula (1.1) was proved by Tadić in the case of Speh representations [Tad95] and his proof was simplified in [CR08].…”

“…Tadić's ingenious argument transfers the problem to a question about complex groups. Later on, the argument was simplified by Chenevier and Renard [CR08] by a clever use of the Desnanot-Jacobi identity of determinants (also known as Dodgson's rule of determinants). Both proofs rely on the determination of the composition series at the edge of a complementary series, and thus they heavily rely on unitarity.…”

Unitary dual ofGL(n) at archimedean places and global Jacquet–Langlands correspondence

“…Again from the Lewis Carroll identity ( [14]), we deduce easily from this a formula for composition series of ends of complementary series…”

Une condition suffisante pour l’irréductibilité d’une induite parabolique de {\rm GL}(m,{\rm D})

“…[13], voir paragraphe 4.1 pour la définition), classe qui généralise de façon naturelle celle de représentation de Speh (et qui contient aussi les représentations elliptiques). On montre que la conjecture [5,Conjecture 3.11] sur l'irréductibilité du transfert de Jacquet-Langlands est vraie pour des telles représentations et on répond à la question posée dans [13,Remark 5], qui apparaît aussi naturellement dans [11].…”

“…Soit π une représentation irréductible de G. On sait qu'il existe un unique élément LJ(π) du groupe de Grothendieck des représentations de G tel que LJ(π) soit le transfert de π ( La formule (dite des caractères) démontrée dans [13], qui généralise les ré-sultats de [22] et [11], permet de comprendre le transfert des représentations en échelle. Soit en effet π = L(m) ∈ Irr(G nd ), où m = ([a 1 , b 1 …”