Chaos in Classical Mechanics: The Double Pendulum

Richter, Péter; Scholz, H J

doi:10.1007/978-3-642-69591-9_9

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“…Dos vários modelos usados para introduzir o aluno nos conceitos de caos, o pêndulo duploé considerado o conceito mais simples dentre todos [10,11]. O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos físicos que podem girar livremente em torno dos seus respectivos pontos de fixação.…”

Section: Pêndulo Duplounclassified

SimQuest - ferramenta de modelagem computacional para o ensino de física

Silva

Germano

Mariano

2011

Rev. Bras. Ensino Fís.

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O objetivo deste trabalho,é apresentar a ferramenta de modelagem computacional denominada SimQuest, e discutir algumas das possibilidades do seu uso como ferramenta auxiliar no ensino de física. Como característica principal, o SimQuest possibilita a construção de objetos de aprendizagem com inúmeros recursos gráficos e uma interação amigável. Outra caracterísitica interessante do Simquest,é a alteração em tempo real dos parâmetros que envolvem o problema analisado. Estes elementos básicos de uma simulação, credenciam o uso do SimQuest como uma importante ferramentano ensino de física. Para ilustrar o potencial do SimQuest, apresentamos os objetos de aprendizagem de dois problemas complexos no ensino de física, o pêndulo duplo e o atrator de Lorenz. Palavras-chave: SimQuest, objetos de aprendizagem, ensino de física, modelagem computacional, simulações.In this paper, we present the computational modelling tool called SimQuest discussing some of the possibilities of its use as an auxiliary tool in the teaching of physics. As a main feature, the SimQuest allows the construction of learning objects with various graphics and a friendly interface. Another interesting feature is the possibility of changing the parameters of the problem analyzed in real time. These basic elements make real the possibility of using SimQuest as an important tool in the teaching of physics. To illustrate the potential of SimQuest, we present the learning objects of two complex problems in physics education, the double pendulum and the Lorenz attractor. Keywords: SimQuest, learning objects, teaching physics, computer modelling, simulations. IntroduçãoO ensino de física nos dias atuais passa por momentos de transformações, sobretudo em virtude das possibilidades do uso do computador como ferramenta auxiliar de ensino. Neste trabalho, procuramos dar nossa contribuição nesse sentido, mostrando e discutindo as possibilidades de utilização da ferramenta de modelagem computacional SimQuest. Esta ferramenta pode seŕ util aos professores que estãoávidos por construir os seus próprios objetos de aprendizagem. Uma das principais características do SimQuest,é a sua interface amigável, mesmo para pessoas que não tenham grandes habilidades ou conhecimentos com linguagens de programação, facilitando assim a construção dos objetos de aprendizagem O ensino de físicaé uma dasáreas de estudo que mais pode se beneficiar com o uso destas novas tecnologias computacionais, pois a física ao abordar temas tão amplos do nosso cotidiano e que por vezes tenta explicar situações que não podem ser demonstradas facilmente, leva os alunos a terem a sensação de que são incapazes de aprendê-la.Há mais de duas décadas já se afirma: "o computador revolucionou o modo como se faz a investigação em física, mas não alterou significativamente o modo como se ensina física" [1]. Vemos que ainda hoje esta afirmaçãoé válida para a maioria das escolas públicas e particulares brasileiras. Para fomentar o uso do computador nas escolas, programas foram desenvolvidos com o intuito de ser...

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Section: Pêndulo Duplounclassified

SimQuest - ferramenta de modelagem computacional para o ensino de física

Silva

Germano

Mariano

2011

Rev. Bras. Ensino Fís.

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“…V B show some differences from those of the simple double pendulum and double bar pendulum. [1][2][3]12 To better illustrate the differences we have numerically solved the equations of motion for the simple double pendulum, and constructed Poincaré sections using the definition given in Sec. V A.…”

Section: Comparison With Simple Double Pendulummentioning

confidence: 99%

“…[1][2][3] It is also a prototypical system for demonstrating the Lagrangian and Hamiltonian approaches to dynamics and the machinery of nonlinear dynamics. [4][5][6][7] Variants of the simple double pendulum have been considered, including an asymmetrical version, 8 and a configuration in which the inner mass is displaced along the rod.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…The simple double pendulum consisting of two point masses attached by massless rods and free to rotate in a plane is one of the simplest dynamical systems to exhibit chaos. [1][2][3] It is also a prototypical system for demonstrating the Lagrangian and Hamiltonian approaches to dynamics and the machinery of nonlinear dynamics. [4][5][6][7] Variants of the simple double pendulum have been considered, including an asymmetrical version, 8 and a configuration in which the inner mass is displaced along the rod.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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Dynamics of a double pendulum with distributed mass

Rafat

Wheatland

Bedding

2009

American Journal of Physics

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We investigate a variation of the simple double pendulum in which the two point masses are replaced by square plates. The double square pendulum exhibits richer behavior than the simple double pendulum and provides a convenient demonstration of nonlinear dynamics and chaos. It is also an example of an asymmetric compound double pendulum, which has not been studied in detail. We obtain the equilibrium configurations and normal modes of oscillation and derive the equations of motion, which are solved numerically to produce Poincaré sections. We show how the behavior varies from regular motion at low energies, to chaos at intermediate energies, and back to regular motion at high energies. We also show that the onset of chaos occurs at a significantly lower energy than for the simple double pendulum.

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“…They also give some conditions the system must satisfy to have a strange invariant set. For a double pendulum, the presence of chaotic motion has been illustrated experimentally [Shinbrot et al, 1992], numerically [Richter & Scholz, 1983], and analytically [Burov, 1986;Dullin, 1994]. The 2-DOF robot manipulator moving in a vertical plane can be considered as a driven double pendulum.…”

Section: Introductionmentioning

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Bifurcation Analysis of a 2-Dof Robot Manipulator Driven by Constant Torques

Verduzco

Álvarez

1999

Int. J. Bifurcation Chaos

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The bifurcations of a two-degree-of-freedom (2-DOF) robot manipulator with linear viscous damping and constant torques at joints are analyzed at three equilibrium points. We show that, provided some conditions on the parameters are satisfied, two of these equilibria have a Jacobian matrix with a double zero eigenvalue and a pair of pure imaginary eigenvalues, while the other one has a quadruple zero eigenvalue. We use the center manifold theorem and the normal form theory to show the presence of different kinds of local bifurcations, ranging from codimension one (Hopf and fold), three (cusp and degenerate zero-Hopf), and higher (double zero, double zero-Hopf, triple zero, quadruple zero and Hopf-Hopf). †

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Chaos in Classical Mechanics: The Double Pendulum

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