Bounds For Étale Capitulation Kernels

Noyaux de Tate et capitulation

“…Cette question a été étudiée par [1] dans le cas où E/F est une extension cyclique de degré p. Malheureusement, les bornes obtenues par les auteurs précités sont triviales lorsque S = S p ∪S ∞ , et c'est l'une des motivations du présent travail que d'y remédier. Comme dans [1], la stratégie de base est celle du "changement de twist", pour se ramener aux twists classiques i = 1 ou i = 0, où les groupes de cohomologie possèdent une interprétation concrète, ce qui permet d'obtenir des bornes explicites lorsque i est suffisamment proche de 0 ou de 1.…”

“…Comme dans [1], la stratégie de base est celle du "changement de twist", pour se ramener aux twists classiques i = 1 ou i = 0, où les groupes de cohomologie possèdent une interprétation concrète, ce qui permet d'obtenir des bornes explicites lorsque i est suffisamment proche de 0 ou de 1. Le changement de twist est rendu possible grâce à la comparaison de certains noyaux de Tate modulo p k , à laquelle est consacrée la première partie de l'article (section 2).…”

“…Le changement de twist est rendu possible grâce à la comparaison de certains noyaux de Tate modulo p k , à laquelle est consacrée la première partie de l'article (section 2). Ce type de comparaison, dont l'idée remonte à [3], est déjà présent dans [1] ou [4] (voir aussi [15]). Néanmoins le traitement présenté ici est à la fois plus direct et plus précis (il ne nécessite pas la présence de "suffisamment" de racines de l'unité).…”

“…Ce dernier cas -inaccessible pour la minoration globale -est de loin le plus difficile et le plus intéressant, à cause de son lien avec la conjecture de Greenberg généralisée [13,14]. Les résultats présentés dans cet article contiennent ceux de [1] (où S S p ∪ S ∞ ), mais sont valables aussi dans le cas crucial où S = S p ∪ S ∞ . On notera aussi que la méthode locale est spécifique aux twists i = 1, et ne produit rien concernant la capitulation du groupe de classes (pour lequel l'analogue de la question (Q) reste un mystère en général.…”

“…Naturellement, le cas i = 1 (et plus générale-ment celui des mauvais i) demande une attention particulière, et l'on doit y définir un noyau de Tate modifiéV (1) qui coïncide avecÛ F /p k si et seulement si la conjecture de Gross est vérifiée. Si c'est le cas, la différence V (i) /V (1) ∩ V (i) est réalisée comme un sous-groupe du noyau de l'application de capitulation modifiée…”