Boundary Invariants of Pseudoconvex Domains

Catlin, David W.

doi:10.2307/1971087

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“…Dans [3], D . Catlin introduit le multitype d'un point du bord d'un domaine pseudo-convexo borné régulier de C" .…”

Section: Lien Avec Le Multitype De D Catlinunclassified

“…Un peu plus précisément, au paragraphe V, nous comparons leurs ordres de croissance au bord de 9 au multitype introduit par D. Catlin dans [3] . Disons simplement ¡c¡ que lorsque Pon choisit pour B la base de_ COURANTS POSITIFS FERMES ET MULTITYPE .…”

Section: Introductionunclassified

“…D'un autre cóté, dans [2] on étudie le cas des domaines de C2 . On y démontre que Pon a une condition de la forme (3) L 10A 9ppAapl < bp)IBI, oú la fonction S est liée á la pseudo-distance introduite par A. Nagel, E . Stein et S. Wainger dans [5] et [6], c'est-á-dire essentiellement au type de Kohn des points du domaine.…”

Section: Introductionunclassified

“…Np -1 au voisinage de la frontiére de S2), (N, L1, L2) est une base des champs holomorphes au voisinage de zo, et soit (ap, W1, w2) la base duale de (1,0)-formes . Nous contruisons alors deux fonctions Sl et S2 dans un voisinage V de zo telles que I01\aPAbPAw2 Aw21 + 19AOPAnPAw1 AW,I < f ( -P) lo¡, fvng si vng S2 la constante C ne dépendant que de 9, V et B. Les fonctions Sl et S2, dont les définitions précises sont données au paragraphe suivant, sont inférieures á la fonction S de 1'inégalité (3), et ne sont plus en fait liées uniquement au type de Kohn des points du domaine 9.Un peu plus précisément, au paragraphe V, nous comparons leurs ordres de croissance au bord de 9 au multitype introduit par D. Catlin dans [3] . Disons simplement ¡c¡ que lorsque Pon choisit pour B la base de_ COURANTS POSITIFS FERMES ET MULTITYPE .…”

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Une estimation des coefficients tangents d'un courant positif ferme dans un domaine de $\Bbb C^3$

Charpentier¹,

Dupain²

1992

Publicacions Matemàtiques

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UNE ESTIMATION DES COEFFICIENTS TANGENTS D'UN COURANT POSITIF FERME DANS UN DOMAINE DE C3 PH . CHARPENTIER AND Y . DUPAINIn this paper, we study the behaviour near the boundary of the complex tangent coefficients of a closed positive current in a bounded domain of C3 with C°°boundary . Assuming that the current satisfies the Blaschke condition, we give a condition on the complex tangent coefficients which is better than the one which can be proved using the pseudo-distance introduced by A . Nagel, E . Stein and S . Wainger (in analogy with the case of domains in (C 2). Moreover, when the domain is supposed to be pseudoconvex, we show how our condition is related to D . Catlin's multitype . I . IntroductionSoit 9 un domaine borné de C' á frontiére de classe C°°, et soit p E Coo(Cn) une fonction définissante de 9. Soit 0 =~e ?j dzi A dzj un (1,1)-courant positif fermé (Le . dB = 0) dans 2 satisfaisant á la condition de Blaschke, c'est-á-dire tel que Bii < + 0O .Il est classique que sous cette hypothése, les coefficients tangents de 0, c'est-á-dire les coefficients de la forme OADpAbp, satisfont á une condition meilleure connue sous le nom de condition de Malliavin: précisément, on a f 10 A áp A ápi < C f( -0e1, Il est facile de voir que cette condition reste valable dans un domaine quelconque de C'. Mais 1'exemple des ellipsoides complexes montre qu'alors elle n'est plus optimale lorsque n >_ 3.Dans ce travail, nous nous plagons dans C3 , et nous obtenons une condition sur les coefficients tangents du courant qui est meilleure que la condition précédente. Pour étre un peu plus précis, soit zo un point de la frontiére de 9, et soit B = (L1, L2) une base de 1'espace des (1, 0)-champs tangents complexes au voisinage de zo de sorte que, si N est le champ normal á p (¡.e. Np -1 au voisinage de la frontiére de S2), (N, L1, L2) est une base des champs holomorphes au voisinage de zo, et soit (ap, W1, w2) la base duale de (1,0)-formes . Nous contruisons alors deux fonctions Sl et S2 dans un voisinage V de zo telles que I01\aPAbPAw2 Aw21 + 19AOPAnPAw1 AW,I < f ( -P) lo¡, fvng si vng S2 la constante C ne dépendant que de 9, V et B. Les fonctions Sl et S2, dont les définitions précises sont données au paragraphe suivant, sont inférieures á la fonction S de 1'inégalité (3), et ne sont plus en fait liées uniquement au type de Kohn des points du domaine 9.Un peu plus précisément, au paragraphe V, nous comparons leurs ordres de croissance au bord de 9 au multitype introduit par D. Catlin dans [3] . Disons simplement ¡c¡ que lorsque Pon choisit pour B la base de_ COURANTS POSITIFS FERMES ET MULTITYPE . 321

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“…Dans [3], D . Catlin introduit le multitype d'un point du bord d'un domaine pseudo-convexo borné régulier de C" .…”

Section: Lien Avec Le Multitype De D Catlinunclassified

Section: Introductionunclassified

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Une estimation des coefficients tangents d'un courant positif ferme dans un domaine de $\Bbb C^3$

Charpentier¹,

Dupain²

1992

Publicacions Matemàtiques

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“…Accordingly Theorems As and Bs hold more generally when ß is a smooth bounded pseudoconvex domain such that its Neumann operator admits subelliptic estimates. David Catlin [11] has recently characterized such domains as being the domains of finite type, in the sense that the maximum order of contact of complex varieties with the boundary is finite. Examples of such domains are strictly pseudoconvex domains with Cx boundary and weakly pseudoconvex domains with real analytic boundary.…”

Section: L/>(w) -0 Tu(*)-(u(-)k0(-w))mmentioning

confidence: 99%

Sobolev Space Projections In Strictly Pseudoconvex Domains

Boas¹

1985

Transactions of the American Mathematical Society

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Estimates for regularity of the tangential \documentclass{article}\usepackage{amssymb,amsmath}\begin{document}\pagestyle{empty}$\bar{\partial }$\end{document}‐system

Khanh

Zampieri

2011

Mathematische Nachrichten

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Key words∂-Neumann problem,∂ b -system, q-pseudoconvex/concave manifolds. MSC (2010) 32F10, 32F20, 32N15, 32T25We study ellipticity in a weak sense, such as fractional or logarithmic, of the system ∂ b ,∂ * b tangential to a hypersurface or a generic higher codimensional submanifold M ⊂ C n . The geometric setting which assures the estimates is the q-pseudoconvexity/concavity of M in addition to the existence of a suitable family of weights in a strip or a tube around M . The basic estimates for the∂-Neumann problem on q-pseudoconvex/concave domains is related to the classical work by Shaw [17] and more recent by Zampieri [19]. The method of the weights is due to Catlin [3] and the relation between the tangential and the ambient∂ system on pseudoconvex domains is inspired to Kohn [14]. Both these techniques are adapted here to a general Levi signature.Let M be a real smooth hypersurface of C n defined by r = 0 with ∂r = 0. We denote by D = D + and D = D − the two sides of M in a neighborhood V of a point z o ∈ M ; we assume r < 0 in D + and r > 0 in D − . Let ω 1 , . . . , ω n be an orthonormal basis of (1, 0) forms in a neighborhood of z o with ω n = ∂r, and let ∂ ω1 , . . . , ∂ ωn be the dual basis of (1, 0) vector fields. For 0 ≤ k ≤ n, we write a general k-form u on V aswhere denotes summation restricted to ordered multiindices J = {j 1 , . . . , j k } and whereω J =ω j1 ∧ · · · ∧ ω j k . When the multiindex is no more ordered, it is understood that the coefficient u J is antisymmetric with respect to J; in particular, if J decomposes into jK, then u j K = sign J j K u J . We define a scalar product and a norm by u, u = |u| 2 = |J |=k |u J | 2 ; this definition is independent of the choice of the orthonormal basis ω 1 , . . . , ω n . The coefficients of our forms are taken in various spaces such asand the corresponding spaces of k-forms are denoted by C ∞ (D ∩ V ) k and so on. All our discussion is local; sometimes, we omit this specification. Though our a priori estimates are proved over smooth forms, they are stated in Hilbert norms. Thus, let u H 0 or u 0 be the H 0 = L 2 norm and, for a real function ϕ, let the weighted L 2 -norm be defined bywhere dv is the element of volume in C n .

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Boundary Invariants of Pseudoconvex Domains

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Sobolev Space Projections In Strictly Pseudoconvex Domains

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