Bohr-Sommerfeld conditions for integrable systems with critical manifolds of focus-focus type

Abstract

We present a detailed study, in the semi-classical regime h → 0, of microlocal properties of systems of two commuting h-pseudo-differential operators P 1 (h), P 2 (h) such that the joint principal symbol p = (p 1 , p 2 ) has a special kind of singularity called a focus-focus singularity. Typical examples include the quantum spherical pendulum or the quantum Champagne bottle.In the spirit of Colin de Verdière and Parisse [11,12,13], we show that such systems have a universal behavior described by singular quantization conditions of Bohr-Sommerfeld type.These conditions are used to give a precise description of the joint spectrum of such systems, including the phenomenon of quantum monodromy and different formulations of the counting function for the joint eigenvalues close to the singularity, in which a logarithm of the semi-classical constant h appears. Thanks to numerical computations done by M.S. Child for the case of the Champagne bottle, we are able to accurately illustrate our statements.

Quasimodes and Bohr-Sommerfeld Conditions for the Toeplitz Operators

“…In the usual Bohr Sommerfeld conditions on a cotangent phase space, β E + 1 2 δ E is replaced by a sum of two closed forms, the first one is obtained as β E from the subsymbols and the second one is the Maslov form (cf. theorem 4.5.8 of [10]). …”

“…Indeed, we can prove that the microsupport of (v α ) is a subset of h −1 0 (C) (cf. proposition 4.4.6 of [10] for a proof in the case of pseudodifferential operators with a small parameter that we can easily adapt to our situation).…”

Sur le spectre semi-classique d’un système intégrable de dimension 1 autour d’une singularité hyperbolique

“…Donnons ici quelqueséléments d'analyse microlocale, pour plus de détails voir par exemple [39], [40] ou [13]. Pour h 0 > 0 fixé, l'ensemble …”

“…; avec l'argument de la dimension 1 on peut montrer ( [38], [39], [40]) qu'il y a une unique faon de prolonger la solution φ 1 le long de la courbe enévitant la singularité pour arriver sur l'ouvert U 4 ; la solution finale φ 1 diffère alors de la solution φ 4 par un facteur de phase ( [38], [39], [40]) : φ 1 = e iS + (E)/h φ 4 où la fonctions S + admet un développement asymptotique en puissance de h : S + (E) = ∞ i=0 S + j (E)h j avec des coefficients S + j qui sont C ∞ par rapportà la variable E. De la même façon on a que φ 2 = e iS − (E)/h φ 3 avec aussi une fonctions S − ayant un développement asymptotique en puissance de h :…”

“…Cependant le spectre du double puits reste globalement assez mystérieux. Dans l'étude des singularités de l'application moment d'un système complètement intégrable, l'opérateur de Schrödinger avec double puits est le modèle type pour les singularités non-dégénérées de type hyperbolique [38], [39] et [40]. En effet, pour un hamiltonien p : M → R tel que 0 soit valeur critique de p, et tel que les fibres dans un voisinage de 0 soient compactes et connexes et ne contiennent qu'un unique point critique nondégénéré de type hyperbolique : la fibre Λ 0 := p −1 (0) est alors un « huit » et le feuilletage dans un voisinage de la fibre singulière Λ 0 est difféomorphè a celui du double puits.…”