Bemerkungen zur numerischen Behandlung einer Klasse von schwach singulären Integralgleichungen 1. Art unter Verwendung von Kollokations‐ und Galerkin‐Methoden

Abstract

Es werden die beiden folgenden Algorithmen zur numerischen Lösung einer Klasse von schwach singulären Integralgleichungen erster Art mit logarithmischem Kern sowohl bezüglich Konvergenzordnung also auch Rechenaufwand verglichen: das Galerkinverfahren unter Verwendung finiter Elemente mit stückweise konstanten, linearen und quadratischen Ansatzfunktionen, die Kollokationsmethode mit stückweise konstanten Ansatzfunktionen. Beide Verfahren werden wir bei mehreren Stützstellenzahlen vergleichen. Solche Klassen von Integralgleichungen resultieren aus dem Dirichletproblem für stark elliptische Differentialgleichungen unter Verwendung der Fundamentallösung. Diese Klassen von Integralgleichungen sind mittels des Galerkinverfahrens in der letzten Zeit untersucht worden — siehe z. B. [7] und [8]. Die Kollokationsmethode zeichnet sich durch ihren einfachen Formalismus sowie durch ihren niedrigen Rechenaufwand aus und wird in der Praxis insbesondere von Ingenieuren viel verwendet. Eine Fehlerabschätzung für die Kollokationsmethode in der Maximum‐Norm wurde u. W. erstmals in [1] hergeleitet. Für Galerkin‐ Verfahren, angewandt auf Randintegralgleichungen für gemischte Randwertprobleme, wurden kürzlich sowohl theoretische als auch experimentielle asymptotische Fehlerabschätzungen in [9] und [10] hergeleitet. Für die Kollokationsmethode unter Benutzung von ungeraden Splinepolynomen erhält man im Falle einer ziemlich allgemeinen Klasse streng elliptischer Pseudodifferentialoperatoren in einer Unabhängigen ein erstes Konvergenzergebnis in verschiedenen Sobolevnormen für die entsprechenden Randintegralgleichungen [3].