Bemerkungen zum Inneren Differentialkalkül

Abstract

Der Innere Differentialkalkul ist in [I] und [2] von E. KAHLER begriindet worden. Bezeichnet V den Produktoperator und S den Differentialoperator dieses Kalkuls, so lassen sich V und B in einfachen Fallen durch ( V ) = ( A ) + (*I> 6 = rot + div kennzeichnen. Die Gleichung ( V ) = ( A ) + ( a ) ist naherhin so gemeint. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt und (el, . . . , en) eine orthonormale Basis von V , ferner t ein schiefsymmetrischer Tensor iiber V . Dann ist ej V t = e j A t + e j . t , (en, A * * + A e,~) V t = (el., A * * A e+ V ( e ,~~ V t ) , im ubrigen ist das V-Produkt linear. Zur Definition des inneren Produktes 2 , . . . e2 . t : sind s = (61l' ' "") und t = (t I b ) heliebige Tensoren iiber I' mit u 5 b, so ist ' . ' P a (8 * .,?&a = ( l / u ! ) s " ' t L b l . . . / " " A , . . . , I & a 'Ersichtlich sind v und 6 inhomogene Operatoren in dem Sinne, daS homogene Tensoren in inhomogene iiberfiihrt werden. Die Grunde fur die KAHLERschen Definitionen treten deutlich hervor, wenn man diese Definitionen abwandelt und nach den Eigenschaften der abgewandelten Begriffe fragt. Weiterhin wird eine konkrete Modifizierung diskutiert :Schon an dieser Stelle sei bemerkt, daD weder der KAHLERSChe Kalkul noch der durch v -und -6 bestimmte Kalkul scharfe Dualitiitseigenschafteii be-