Band Theory of Size‐Quantised Electron States in Thin Crystalline Films

Abstract

The discrete electron states in a thin film with an arbitrary three-dimensional periodic crystal potential are analysed. First the quantum size effect states of a symmetric film are found exactly for Dirichlet (y = 0) and Neumann (y' = 0) boundary conditions, and the interpolation between these extremes is studied. Then e surface scattering matrix formalism is set up in the general (unsymmetric) case. This treats the general situation when there may be M up-and M down-travelling Bloch waves with a given energy and surface-parallel component of crystal momentum modulo surface reciprocal lattice. The equations are solved in the general 1 x 1 and symmetric 2 X 2 cases.The QSE solutions approximate gently undulating parallel surfaces in k-space. Usually the separation of these surfaces is roughly uniform. An exception occurs in the 2 x 2 case near a band edge which is not a t the centre or edge of the Brillouin zone; the solutions are then in nearly degenerate pairs. The results agree with available experimental data.Die diskreten Elektronenzustiinde in dunnen Schichten mit beliebigem dreidimensionalem periodischem Kristallpotential werden analysiert. Zuerst werden die Quanten-Sizeeffektzustinde einer symmetrischen Schicht exakt fiir die Dirichletschen (y = 0) und Neumannschen (y' = 0) Grenzbedingungen gefunden und die Interpolation zwischen diesen Extrema untersucht. Dazu wird ein Oberfliichemtreumatrixformalismus fur den allgemeinen (unsymmetrischen) Fall eufgestellt. Dieser behandelt die allgemeine Situation, in der wandernde Blochwellen mit M-auf und M-ab und, gegebener Energie und einer zur Oberfliche parallelen Komponente des Kristallimpulses modulo des reziproken Oberflichengitters vorhanden sind. Die Gleichungen werden im allgemeinen 1 x 1-und symmetrischen 2 x 2-Fall gelost. Die QSE-Losungen passen sich befriedigend den gewellten parallelen Oberflichen im k-Raum an. Gewohnlich ist der Abstand dieser Flichen etwa gleichformig. Eine Ausnahme tritt im 2 x 2-Fall in der Niihe einer Bandkante a d , die nicht beim Zentrum oder Kante der Brillouinzone liegt; die Liisungen sind dann fast entartete Paare. Die Ergebnisse stimmen mit erreichbaren experimentellen Werten uberein.