Asymptotics of Spectra of Compact Pseudodifferential Operators with Nonsmooth Symbols with Respect to Spatial Variables

Сингулярные Числа Компактных Псевдодифференциальных Операторов С Символом, Негладким По Пространственным Переменным

“…Асимптотические свойства спектра регулярной части по существу получены в [6], где рассматривались операторы с вейлевскими символами. Обозначим через W ПДО с вейлевским символом w(x, ξ),…”

“…В [5,6] рассматривались ПДО с вейлевскими символами, когда функция a(x, ξ) в (1) заменяется на a (x + y)/2, ξ . В [5] доказана справедливость вейлевской формулы спектральной асимптотики для неклассических ПДО с гладкими символами, в [6] для операторов с вейлевскими символами, гладкость которых по переменной x зависит от порядка оператора. Интерес к задачам определения спектральной асимптотики таких операторов возник в последнее время в связи с теорией случайных процессов.…”

“…В этих задачах степенной порядок убывания символа при |ξ| → ∞ является гёльдеровской функцией переменной x. Главный член спектральной асимптотики в этом случае определяется сколь угодно узкой окрестностью множества тех точек x, где порядок по абсолютной величине минимален. В [6] рассматриваются операторы с вейлевскими символами, в настоящей работе с обычными, левыми, символами. Для операторов (1) удается существенно ослабить по сравнению с [6] требования гладкости символа.…”

“…В [6] рассматриваются операторы с вейлевскими символами, в настоящей работе с обычными, левыми, символами. Для операторов (1) удается существенно ослабить по сравнению с [6] требования гладкости символа.…”

“…Для спектра регулярной части A 0 докажем асимптотическую формулу (7), здесь доказательство следует работе [5], где получена спектральная асимптотика компактных ПДО переменного порядка с гладкими символами. Далее, следуя [6], для спектра сингулярной части A 1 доказываются оценки, которые позволяют с помощью асимптотической теории возмущений сохранить асимптотику (7)…”