Asymptotics of approximation of functions by conjugate Poisson integrals

Abstract

Among the actual problems of the theory of approximation of functions one should highlight a wide range of extremal problems, in particular, studying the approximation of functional classes by various linear methods of summation of the Fourier series. In this paper, we consider the well-known Lipschitz class $\textrm{Lip}_1\alpha $, i.e. the class of continuous $ 2\pi $-periodic functions satisfying the Lipschitz condition of order $\alpha$, $0<\alpha\le 1$, and the conjugate Poisson integral acts as the approximating operator. One of the relevant tasks at present is the possibility of finding constants for asymptotic terms of the indicated degree of smallness (the so-called Kolmogorov-Nikol'skii constants) in asymptotic distributions of approximations by the conjugate Poisson integrals of functions from the Lipschitz class in the uniform metric. In this paper, complete asymptotic expansions are obtained for the exact upper bounds of deviations of the conjugate Poisson integrals from functions from the class $\textrm{Lip}_1\alpha $. These expansions make it possible to write down the Kolmogorov-Nikol'skii constants of the arbitrary order of smallness.

Approximation Properties of the Generalized Abel-Poisson Integrals on the Weyl-Nagy Classes

“…The approximation properties of the generalized Poisson integrals have been studied only in the cases γ = 1 (Poisson integral) and γ = 1 (Weierstrass integral). In particular, the Kolmogorov-Nikol'skii problems for the Poisson integral on the different functional classes have been solved in [7][8][9][10][11]. Similar problems for Weierstrass integral have been solved in [5,[12][13][14].…”

О Приближении Функций Класса Зигмунда Бигармоническими Интегралами Пуассона

“…Что касается общей теории линейных методов суммирования рядов Фурье [7], то особое место среди последних занимают методы, которые задаются посредством совокупности функций натурального аргумента [8][9][10][11][12][13][14]. Примеры таких линейных методов -методы суммирования Абеля-Пуассона [15][16][17] (или же просто Пуассона [18][19][20]), Гаусса-Вейерштрасса [21], бигармонического [22][23][24] и тригармонического [25][26][27] интегралов Пуассона.…”

О Зависимости Качества Машинного Перевода Текста От Используемого Преобразования Фурье

“…И наконец, подставляя соотношения ( 25) и (34) в правую часть равенства (17), получим скорость сходимости преобразования Фурье треугольного линейного матричного метода суммирования Абеля-Пуассона (10)…”