Asymptotics Near ±m of the Spectral Shift Function for Dirac Operators with Non-Constant Magnetic Fields

Abstract

We consider a 3-dimensional Dirac operator H0 with non-constant magnetic field of constant direction, perturbed by a sign-definite matrix-valued potential V decaying fast enough at infinity. Then we determine asymptotics, as the energy goes to +m and −m, of the spectral shift function for the pair (H0 + V, H0). We obtain, as a by-product, a generalised version of Levinson's Theorem relating the eigenvalues asymptotics of H0 + V near +m and −m to the scattering phase shift for the pair (H0 + V, H0).

Topological Levinson's theorem for inverse square potentials: complex, infinite, but not exceptional

“…Let us emphasize that the previous theorem is the first topological version of Levinson's theorem when an infinite number of eigenvalues is involved. Note however that a generalized Levinson's theorem involving an infinite number of bound states already appeared in [9,14], but it corresponds to a relation between the asymptotic behaviors of the spectral shift function and of the eigenvalues counting functions. A deeper understanding of the relation between our result and the results contained in these papers would certainly be valuable.…”

Résonances près de seuils d'opérateurs magnétiques de Pauli et de Dirac

“…Pour ±V > 0, il n'y a pas d'accumulation de valeurs propres près de ±m. Nous pouvons comparer nos résultatsà ceux de [33] sur la distribution asymptotique près de ±m du spectre discret dans (−m, m) de Dans cette sous-section, nous résumons quelques résultats dusà G. D. Raikov sur les opérateurs de type Toeplitz (voir [23]).…”

“…La perturbation V ≡ {V jk } 1≤ j,k≤n (n = 2 ou 4) est un potentiel matriciel hermitien symétrique identifiéà l'opérateur de multiplication par V , et dont les coefficients V jk ∈ L ∞ (R 3 , C) décroissent super-exponentiellement par rapportà la variable x 3 . Pour ces opérateurs, G. D. Raikov dans [23] et R. Tiedra de Aldecoa dans [33]étudient la fonction de décalage spectral respectivement près de 0 et ±m et montrent qu'elle possède des singularités pour V de signe fixé décroissant polynomialementà l'infini. Il est naturel de penser que ces explosions 1096 D. Sambou de la fonction de décalage spectral sont liéesà une accumulation de résonances près de 0 et ±m.…”

“…D'autres résultats sur le spectre d'opérateurs de Pauli peuventêtre trouvés dans [21] et [22]. Une représentation matricielle de H 0 est donnée par (1.8) [33]). Dans [14], [18], [26], 1098 D. Sambou [34], on peut trouver d'autres résultats sur le spectre d'opérateurs de Dirac et de plus dans [1], [2], [3], [27], [28], [29] des résultats sur les zéro-modes.…”

Levinson’s Theorem: An Index Theorem in Scattering Theory

“…Beside the extensions already presented in Sections 6 and 8, others are appealing. For example, it would certainly be interesting to recast the generalized Levinson's theorem exhibited in [44,55] in our framework. Another challenging extension would be to find out the suitable algebraic framework for dealing with scattering systems described in a two-Hilbert spaces setting.…”