Asymptotic Behavior of the Spectrum of Pseudodifferential Operators of Variable Order

Abstract

UDC 517.95We consider compact selfadjoint pseudodifferential operators under the assumption that the decay order of symbols with respect to ξ depends on a point x. We show that the asymptotic Weyl formula is valid for such operators. Bibliography: 12 titles. Dedicated with thanks to Nina Nikolaevna Uraltseva

On instability mechanisms for inverse problems

“…These operators are compact on L 2 (M ), and the behaviour of their singular values will be useful when studying instability in the presence of microlocal smoothing effects. The result essentially follows from [BS77b,BS77c,Ka15] but for completeness we give a proof in Appendix B. We refer to [Hö85,Chapter 18] for the notation and basic facts related to pseudodifferential operators (ΨDOs).…”

On Asymptotics of the Density of States for Hypoelliptic Almost Periodic Systems

“…was given in [1], where the approximate spectral projector method was used. This method first appeared in [14], and then was intensively developed for operators with a discrete spectrum (see [9,10] and [7]). It should also be noted that the methods used to study the asymptotics of the density of states of elliptic a.p.…”

Сингулярные Числа Компактных Псевдодифференциальных Операторов С Символом, Негладким По Пространственным Переменным

“…В [5,6] рассматривались ПДО с вейлевскими символами, когда функция a(x, ξ) в (1) заменяется на a (x + y)/2, ξ . В [5] доказана справедливость вейлевской формулы спектральной асимптотики для неклассических ПДО с гладкими символами, в [6] для операторов с вейлевскими символами, гладкость которых по переменной x зависит от порядка оператора. Интерес к задачам определения спектральной асимптотики таких операторов возник в последнее время в связи с теорией случайных процессов.…”

“…Оператор A 0 является ПДО с гладким символом, к исследованию его спектра применим метод приближенного спектрального проектора. Для спектра регулярной части A 0 докажем асимптотическую формулу (7), здесь доказательство следует работе [5], где получена спектральная асимптотика компактных ПДО переменного порядка с гладкими символами. Далее, следуя [6], для спектра сингулярной части A 1 доказываются оценки, которые позволяют с помощью асимптотической теории возмущений сохранить асимптотику (7)…”