Approximate Implicitization of Space Curves

Aigner, Martin; Jüttler, Bert; Poteaux, Adrien

doi:10.1007/978-3-7091-0794-2_1

Cited by 5 publications

(9 citation statements)

References 20 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Order By: Relevance

“…Today, there are direct [7,25] and iterative techniques [1]. An idea used in approximate implicitization is to use successively larger supports, starting with a quite small set and extending it so as to reach the exact implicit support.…”

Section: Previous Workmentioning

confidence: 99%

“…, and prepare the input file for ResPol: [1,3], [2,2], [3,1], [2,3], [3,2], [3,3]] Alternatively, in the second line we could explicitly specify the support points that define the projection of N (R), by their order in the set of the third line: 7 6 14 | 0 7 13. These are exponents of the terms of F 0 , F 1 , F 2 whose coefficient contains the implicit variables x 0 , x 1 , x 2 .…”

Section: Support Prediction -The Software Respolmentioning

confidence: 99%

“…ResPol gives implicit vertices (0, 3), (3, 0), (3,3), (1,1) in (x 0 , x 1 )-space which are directly used in our implicitization routine.…”

Section: Support Prediction -The Software Respolmentioning

confidence: 99%

See 2 more Smart Citations

Sparse implicitization by interpolation: Characterizing non-exactness and an application to computing discriminants

Emiris

Kalinka

Konaxis

et al. 2013

Computer-Aided Design

View full text Add to dashboard Cite

We revisit implicitization by interpolation in order to examine its properties in the context of sparse elimination theory. Based on the computation of a superset of the implicit support, implicitization is reduced to computing the nullspace of a numeric matrix. The approach is applicable to polynomial and rational parameterizations of curves and (hyper)surfaces of any dimension, including the case of parameterizations with base points. Our support prediction is based on sparse (or toric) resultant theory, in order to exploit the sparsity of the input and the output. Our method may yield a multiple of the implicit equation: we characterize and quantify this situation by relating the nullspace dimension to the predicted support and its geometry. In this case, we obtain more than one multiples of the implicit equation; the latter can be obtained via multivariate polynomial gcd (or factoring). All of the above techniques extend to the case of approximate computation, thus yielding a method of sparse approximate implicitization, which is important in tackling larger problems. We discuss our publicly available Maple implementation through several examples, including the benchmark of bicubic surface. For a novel application, we focus on computing the discriminant of a multivariate polynomial, which characterizes the existence of multiple roots and generalizes the resultant of a polynomial system. This yields an efficient, output-sensitive algorithm for computing the discriminant polynomial.

show abstract

Section: Previous Workmentioning

confidence: 99%

Section: Support Prediction -The Software Respolmentioning

confidence: 99%

See 1 more Smart Citation

Sparse implicitization by interpolation: Characterizing non-exactness and an application to computing discriminants

Emiris

Kalinka

Konaxis

et al. 2013

Computer-Aided Design

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Approximate implicitization over floating-point numbers was first introduced by T. Dokken [43]. Today, there are direct [121] and iterative techniques [2]. We stop to discuss these methods in more detail later (1.3.4).…”

Section: Change Of Representationmentioning

confidence: 99%

“…Approximate implicitization over floating-point numbers was introduced by T. Dokken and coworkers in a series of papers. Today, there are direct [43] and iterative techniques [2]. In practical applications of CAGD, precise implicitization often can be impossible or very expensive to obtain.…”

Section: Approximate Implicitizationmentioning

confidence: 99%

Changing representation of curves and surfaces

Kalinka¹,

Καλίνκα²

View full text Add to dashboard Cite

Το κύριο αντικείμενο μελέτης στην παρούσα διατριβή είναι η αλλαγή αναπαράστασης γεωμετρικών αντικειμένων από παραμετρική σε αλγεβρική (ή πεπλεγμένη) μορφή. Υπολογίζουμε την αλγεβρική εξίσωση παρεμβάλλοντας τους άγνωστους συντελεστές του πολυωνύμου δεδομένου ενός υπερσυνόλου των μονωνύμων του. Το τελευταίο υπολογίζεται απο το πολύτοπο Νεύτωνα της αλγεβρικής εξίσωσης που υπολογίζεται από μια πρόσφατη μέθοδο πρόβλεψης του συνόλου στήριξης της εξίσωσης. H μέθοδος πρόβλεψης του συνόλου στήριξης βασίζεται στην αραιή (ή τορική) απαλοιφή: το πολύτοπο υπολογίζεται από το πολύτοπο Νεύτωνα της αραιής απαλοίφουσας αν θεωρίσουμε την παραμετροποίηση ως πολυωνυμικό σύστημα. Στα μονώνυμα που αντιστοιχούν στα ακέραια σημεία του πολυτόπου Νεύτωνα δίνονται τιμές ώστε να σχηματίσουν έναν αριθμητικό πίνακα. Ο πυρήνας του πίνακα αυτού, διάστασης 1 σε ιδανική περίπτωση, περιέχει τους συντελεστές των μονωνύμων στην αλγεβρική εξίσωση. Υπολογίζουμε τον πυρήνα του πίνακα είτε συμβολικά είτε αριθμητικά εφαρμόζοντας την μέθοδο του singular value decomposition (SVD). Προτείνουμε τεχνικές για να διαχειριστούμε την περίπτωση ενός πολυδιάστατου πυρήνα το οποίο εμφανίζεται όταν το προβλεπόμενο σύνολο στήριξης είναι ένα υπερσύνολο του πραγματικού. Αυτό δίνει έναν αποτελεσματικό ευαίσθητο εξόδου αλγόριθμο υπολογισμού της αλγεβρικής εξίσωσης. Συγκρίνουμε διαφορετικές προσεγγίσεις κατασκευής του πίνακα μέσω των λογισμικών Maple και SAGE. Στα πειράματά μας χρησιμοποιήθηκαν ρητές καμπύλες και επιφάνειες καθώς και NURBS. Η μέθοδός μας μπορεί να εφαρμοστεί σε πολυώνυμα ή ρητές παραμετροποιήσεις επίπεδων καμπυλών ή (υπερ)επιφανειών οποιασδήποτε διάστασης συμπεριλαμβανομένων και των περιπτώσεων με παραμετροποίηση με σημεία βάσης που εγείρουν σημαντικά ζητήματα για άλλες μεθόδους αλγεβρικοποίησης. Η μέθοδος έχει τον εξής περιορισμό: τα γεωμετρικά αντικείμενα πρέπει να αναπαριστώνται από βάσεις μονωνύμων που στην περίπτωση τριγωνομετρικών παραμετροποιήσεων θα πρέπει να μπορούν να μετασχηματιστούν σε ρητές συναρτήσεις. Επιπλέον η τεχνική που προτείνουμε μπορεί να εφαρμοστεί σε μη γεωμετρικά προβλήματα όπως ο υπολογισμός της διακρίνουσας ενός πολυωνύμου με πολλές μεταβλητές ή της απαλοίφουσας ενός συστήματος πολυωνύμων με πολλές μεταβλητές.

show abstract