Approaches for the 2D 0-1 knapsack problem with conflict graphs

Abstract

This work deals with the 0-1 knapsack problem in its two-dimensional variant, when there is a conflict graph related to pairs of conflicting items. Conflicting items must not be packed together in a same bin. This problem also arises as a subproblem in the bin packing problem and in supply chain scenarious. We propose a heuristic that generates iteratively a solution using a so called greedy randomized procedure. In order to avoid local optima solutions, a penalization memory list is used, and several packing strategies under a two-dimensional grid of points are considered. The heuristic solutions are compared with those ones computed by means of an integer programming model, also proposed in this work and solved with CPLEX solver. The heuristic got optimal solutions for 75% of the instances in a lower CPU time compared with that to solve the integer model.Keywords-Two-dimensional 0-1 knapsack problem, conflict graph, heuristic, integer programming. I. INTRODUÇÃOO problema da mochila 0-1é um clássico problema de otimização combinatória e aparece em diversos contextos práticos, bem como um subproblema de outros problemas de otimização, por exemplo, no problema de empacotamento em bins [1]. Variantes deste problema também têm sido apresentadas na literatura e aparecem nos meios práticos, como no caso bidimensional (2D): empacotamento de paletes e corte de chapas [2]; e no caso tridimensional (3D): empacotamento em contêineres [3]. Vale ressaltar que o problema da mochila 0-1 e suas variantes em outras dimensões são NP-difíceis [4].Uma restrição no problema da mochila 0-1 envolve itens conflitantes, ou seja, itens que não podem ser empacotados em um mesmo recipiente (por exemplo, por questões tecnológicas como alimentos e produtos tóxicos) [5], [6]. Neste caso, devese escolher qual dos itens empacotar no recipiente, gerando um empacotamento sem itens conflitantes.Este trabalho investiga o problema da mochila 0-1 na sua variante 2D considerando um grafo de conflitos associado aos itens. Este grafo mantém arestas entre itens conflitantes de forma que no máximo um deles esteja empacotado no recipiente. Os itens são elementos retangulares com largura e comprimento definidos, bem como um valor/lucro associado. O recipiente tambémé retangular e tem dimensões previamente definidas. O objetivoé empacotar em umúnico recipiente um subconjunto não-conflitante de itens que maximize o lucro total. O empacotamento final deve obedecer as dimensões do recipiente e os itens devem ser empacotados de forma ortogonal aos lados do recipiente, não podem se sobrepor e nem serem rotacionados. Denominaremos este problema por 2KPC. A. Trabalhos CorrelatosA versão unidimensional do problema da mochila 0-1 com grafo de conflitos foi inicialmente estudada por Yamada et al.[5], [6]. Tais autores apresentaram estratégias gulosas e algoritmos exatos para o problema. A estratégia principal gera uma solução inicial por meio de uma heurística gulosa, sendo melhorada por um processo de busca em vizinhança. As soluções são usadas como limitantes para o...