Applications of Voronoi and Delaunay Diagrams in the solution of the geodetic boundary value problem

Abstract

Voronoi and Delaunay structures are presented as discretization tools to be used in numerical surface integration aiming the computation of geodetic problems solutions, when under the integral there is a non-analytical function (e. g., gravity anomaly and height). In the Voronoi approach, the target area is partitioned into polygons which contain the observed point and no interpolation is necessary, only the original data is used. In the Delaunay approach, the observed points are vertices of triangular cells and the value for a cell is interpolated for its barycenter. If the amount and distribution of the observed points are adequate, gridding operation is not required and the numerical surface integration is carried out by point-wise. Even when the amount and distribution of the observed points are not enough, the structures of Voronoi and Delaunay can combine grid with observed points in order to preserve the integrity of the original information. Both schemes are applied to the computation of the Stokes' integral, the terrain correction, the indirect effect and the gradient of the gravity anomaly, in the State of Rio de Janeiro, Brazil area. Keywords: 2-D tessellation; Delaunay Triangulation; Voronoi Cells; Geodesy; Stokes' Integral. Quintero, C. A. B. et al. Bol. Ciênc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 18, n o 3, p.378-396, jul-set, 2012. 3 7 9 RESUMO Este trabalho apresenta as estruturas de Voronoi e Delaunay como ferramentas de discretização a serem usadas na integração numérica de superfícies com o objetivo de resolver problemas computacionais geodésicos, quando no integrando a função não é analítica. No enfoque de Voronoi, a região de trabalho é particionada em polígonos, os quais contêm um ponto por polígono o que faz desnecessária a interpolação. No enfoque de Delaunay, os pontos observados são os vértices de um triangulo, e o valor da célula é o resultado da interpolação sobre o triangulo pelo seu baricentro. Se a quantidade de pontos observados e a sua distribuição são adequadas, a interpolação em grade não é necessária, e a integração é levada a cabo ponto a ponto.Mesmo quando a quantidade e distribuição dos pontos observados não são suficientes, as estruturas de Voronoi e Delaunay podem combinar grade com pontos observados a fim de preservar a integridade da informação original. Ambos os enfoques são aplicados ao cálculo da integral de Stokes, da correção de terreno, do efeito indireto, e do gradiente da anomalia da gravidade na região do estado de Rio de Janeiro, no Brasil. Palavras-chave: Tesselação 2-D; Triangulação de Delaunay; Celulas de Voronoi; Geodésia; Integral de Stokes.