Anomalous behaviour for the random corrections to the cumulants of random walks in fluctuating random media

Abstract

The Central Limit Theorem for a model of discrete-time random walks on the lattice ‫ޚ‬ ν in a fluctuating random environment was proved for almost-all realizations of the space-time environment, for all ν > 1 in [BMP1] and for all ν ≥ 1 in [BBMP]. In [BMP1] it was proved that the random correction to the average of the random walk for ν ≥ 3 is finite. In the present paper we consider the cases ν = 1, 2 and prove the Central Limit Theorem as T → ∞ for the random correction to the first two cumulants. The rescaling factor for the average is T 1 4 for ν = 1 and (ln T ) 1 2 , for ν = 2; for the covariance it is T 1− ν 4 , ν = 1, 2. IntroductionIn this paper we extend the main result of [BMP1] and [BBMP]. We consider a natural class of models of discrete-time random walks in random media on the lattice ‫ޚ‬ ν , ν = 1, 2, . . ., which evolve stochastically in time t. The environment is described by a field ξ = {ξ t (x) : x ∈ ‫ޚ‬ ν , t ∈ ‫ޚ‬ + } of random variables taking values in some finite set S. We denote by X t the particle position at time t.The random walk transition probabilities at time t iswhere P 0 is a probability distribution of an homogeneous random walk, and ε a small parameter. The function c represents the influence of the field on the evolution of the random walk. The interaction is "strictly local", i.e. confined to the place occupied by the particle at time t. The functions P 0 and c have compact support ("finite range" assumption).In general one assumes that the {ξ t (x), t ≥ 0}, x ∈ ‫ޚ‬ ν , are independent copies of an ergodic Markov chain. One can suppose a further local interaction of the

The almost sure central limit theorem for one-dimensional nearest-neighbour random walks in a space-time random environment

“…For such a walk, the random environment is described by a family q = (q(x, n) : x ∈ Z, n ≥ 0) of independent and identically distributed (i.i.d.) random variables taking values in [0, 1], with E(q(0, 0)) = 1 2 , and the transition probabilities are of the following form:…”

The Random Average Process and Random Walk in a Space-Time Random Environment in One Dimension

“…These previous results were proved under assumptions of small enough noise and finitely many possible values for the random probabilities. Bernabei [5] showed that the centered quenched mean, normalized by its own standard deviation, converges to a normal variable. Then separately he showed that this standard deviation is bounded above and below on the order n 1/4 .…”

Случайные Блуждания В Случайной (Флуктуирующей) Среде

“…В одномерном случае картина другая: разность ∆ T (f ; η) оказывается уже величиной порядка 1/T 1/4 , причем T 1/4 ∆ T (f ; η) уже не имеет предела при T → ∞, а имеет лишь предельное распределение; это распределение является гауссовским со средним нуль и конечной дисперсией (явно вычисленной в работе [10]). В статье [11] показано, что в одномерном случае ε T (η) (см. выше (1.4.4b)) имеет порядок T 1/4 и предельное распределение для ε T (η)/T 1/4 оказывается нормальным.…”

“…В этих моделях принимается, что пары (X t , η t ), t 0, состоящие из X t -положения блуждающей частицы в момент t и конфигурации η t = {η(x, t), x ∈ Z ν }, образуют марковскую цепь и при этом выполнено: 1) при фиксированной в момент t паре (X t =x, η t =η) положение частицы X t+1 и значения поля {η t+1 (x), x ∈ Z 1 } в различных точках решетки в следующий момент времени условно независимы; 2) вероятность скачка частицы X t → X t+1 по-прежнему имеет вид (0.4) и для функций p 0 (u) и c(u; s) выполнены все перечисленные выше (см. условия i) и ii)) требования; 3) условное распределение для значения поля η t+1 (z) в точке z ∈ Z ν имеет вид Pr η t+1 (z) = s | X t =x, η t =η = qx −z η(z), s , 11) где {q u (s ′ , s)} s ′ ,s∈S = Q u , u ∈ Z ν , -семейство стохастических матриц такое, что при |u| d это семейство стабилизируется:…”