Analytic solutions to a strongly nonlinear Vlasov equation

Abstract

Abstract. We prove the existence for short times of analytic solutions to a Vlasov type equation. The corresponding model is one-dimensional but uses a quite singular force term which involves a full derivative in x of the macroscopic density, making the existence of solutions a difficult question.Résumé. Nous démontrons l'existence en temps petit de solution analytiqueà uneéquation de type Vlasov. Le modèle considéré est mono-dimensionnel mais le terme de force correspondant fait intervenir une dérivée complète de la densité macroscopique. Ceci rend la question de l'existence de solution particulièrement délicate.Version française abrégée. Le but de cette note est de démontrer l'existence de solutions analytiques en temps petit pour l'équation cinétique grand en dimension ou 2 (cf [7] ou [8]). En dimension 3, seuls des résultats en temps petit ont eté obtenus (voir par exemple [4]) ou pour des solutions faibles, cf [5].De par sa nature très singulière, le seul résultat d'existence que nous connaissions pour (1) (même pour des temps courts ou des solutions faibles) est dûà [3] où les auteurs ne peuvent traiter qu'un type particulier de données initiales, constantes par morceaux. Cetteétude montre clairement que l'équation n'est pas quasi-linéaire contrairement aux modèles cinétiques habituels ; le terme ∂ x f (t, x, v) dv ∂ v f est en effet du même ordre que le terme de transport v∂ x f . Ceci rend douteuse la possibilité d'obtenir une théorie d'existence pour des données initiales générales (C ∞ par exemple) sans condition de forme.Ici nous nous limitonsà des données initiales analytiques et nous démontrons Théorème. Soit f i une fonction analytique dont toutes les dérivées sont bornées en position et décroissent plus que polynomialement en vitesse, alors il existe un temps T et une unique fonction analytique f sur [0, T ] × R 2 solution de (1).Le temps d'existence T dépend de la donnée initiale, et en fait de sa régularité exacte et pas seulement de sa taille. En particulier, si l'on prend f i = εf i en faisant ε → 0, alors notre preuve ne garantit pas que T → ∞.Remarquons que les solutions analytiques d'équations cinétiques ne permettent pas d'observer plusieurs phénomènes d'instabilité. De ce fait ce résultat n'est pas très satisfaisant, bien moins que si l'on supposait seulement f i dans C ∞ par exemple. En particulier, la preuve ne dépend pas du signe du terme de force et s'appliquerait donc de la même façonàMais le terme d'interaction dans cette dernièreéquation est attractif et celle-ci devrait doncêtre plus difficileà traiter que (1). Mentionnons finalement que les outils développés dans [10] permettent d'obtenir le même résultat que celui présenté ici. L'intérêt de notre preuve est d'être beaucoup plus simple.

Local Existence of Analytical Solutions to an Incompressible Lagrangian Stochastic Model in a Periodic Domain

“…To establish the latter result, the choice of analytical functional spaces and the use of the analytic norms in [12] will also be fundamental.…”

“…Using the weighted analytical functional space introduced in [12] and a fixed point argument developed therein, we shall give in Theorem 2.5 below a local-in-time well-posedness result for the nonlinear Vlasov-Fokker-Planck equation:…”

“…From Section 2 on, we restrict ourselves to the one-dimensional case. We recall therein the analytical norms and seminorms introduced in [12] and we state useful properties of them. Following their strategy, in the case β = 0 we then introduce an equivalent formulation of equation (1.5), in order to deal with the integrability problems posed by the first and second order velocity moments involved in the equation.…”

“…We then show that solutions to (1.4) in these particular spaces of analytical functions actually do satisfy the conditions required to be solutions of (1.1). Using the fixed point argument of [12], we will then prove a local existence result in these analytical spaces, which indeed is a slightly more general version of Theorem 1.1 restricted to the case β = 0. In Section 3, we extend the previous result to the case β ≥ 0.…”

“…To tackle the system (1.5), we will follow new ideas introduced in [12], in order to obtain a local existence result of analytical solutions. Our main results are valid irrespective of whether σ = 0 or σ = 0, and hold for any β ∈ R. We summarize them in the following simplified statement: Theorem 1.1.…”