Analysis of the structure of vortex planar flows and their changes with time

Abstract

Предложен численный подход исследования изменений во времени структур вихревых конфигураций идеальной жидкости. В основе численных алгоритмов лежит решение начально-краевой задачи для нестационарных уравнений Эйлера в терминах завихрённости и функции тока. Для этого используется спектрально-вихревой бессеточный метод, который базируется на аппроксимации функции тока рядом Фурье, приближении методом наименьших квадратов поля завихрённости по её значениям в маркерных частицах и расчёте динамики частиц путём решения задачи Коши. Схема спектрально-вихревого метода позволяет реализовать алгоритм анализа «моментальной структуры» поля скоростей методами теории динамических систем. При этом функция тока представляется в виде отрезка ряда Фурье в каждый момент времени. Алгоритм включает построение «моментального» векторного поля течения, а также его особых точек и сепаратрис седловых точек. Для изучения динамики изменений структур во времени применяется расчёт полей локальных показателей Ляпунова. Представлены результаты численного моделирования динамики структуры вихревых течений на основе предложенных подходов для двух видов граничных условий: периодических по пространственным координатам краевых условий и условия протекания жидкости через границу расчётной области. В случае периодических краевых условий выявлено, что вихревая конфигурация состоит из четырёх вихревых пятен, для которых построены поля локальных показателей Ляпунова. При наличии протекания жидкости рассмотрено течение в канале с заданной на границе скоростью, построено «моментальное» поле течения. Вычисления показали эффективность предложенных алгоритмов для углубленного анализа формирующейся картины поля скорости вихревой конфигурации.