Analysis of the fractal sum of pulses

Abstract

Fractal sums of pulses are defined on R D as follows:where the X n are independent random variables, H ∈]0, 1[ and G is the elementary "bump" or "pulse". If the X n are uniform on a cube and G sufficiently regular we prove the (almost sure) existence of F and show that the box dimension of its graph is 2 − H.

Existence et régularité höldérienne des fonctions de bosses

“…Pour n ∈ Λ j , 2 −j ≤ λ n = α/n < 2 −(j−1) , donc Λ j (t) ⊂ Λ(t) ∩ Notonsà la fin que le Théorème 1.2 estétabli dans [5] dans le cas particulier a n = 1/n H (H ∈ ]0, 1[) et λ n = 1/n par une autre approche.…”

“…Dans [5] et [4] et dans le cas particulier λ n = 1/n et a n = 1/n H , les auteurs ont montré que la dimension de boîte de la restriction du graphe de F sur [0, 1] vaut presque sûrement 2 − H et que sous des hypothèses supplémentaires sur G la dimension de Hausdorff du graphe de F vaut aussi presque sûrement 2 − H. Nous renvoyons aussià [3] pour un large exposé sur les fonctions de bosses.…”

“…Cette idée n'est pas toutà fait nouvelle. Par exemple les auteurs de [5] ont remarqué que la construction de F est liée aux recouvrements par des intervalles aléatoires mais ils n'ont pas utilisé cette idée pour poursuivre leurétude.…”

“…Les résultats mentionnés dans ce travail recouvrent en partie, par une autre approche, ceux trouvés en [5] lorsqu'on on se place dans le cas particulier λ n = 1/n et a n = 1/n H , H ∈ ]0, 1[. Dans toute la suite nous supposons que les X n sont uniformément distribuées sur Ω = [−λ 0 , 1 + λ 0 ].…”

“…Dans le cas particulier λ n = 1/n et a n = 1/n H , H ∈ ]0, 1[, l'existence de F estétablie dans [5] par une autre approche.…”