Abstract. The large time behavior of zero-mass solutions to the Cauchy problem for the convectiondiffusion equation u t − u xx + (|u| q ) x = 0, u(x, 0) = u 0 (x) is studied when q > 1 and the initial datum u 0 belongs to L 1 (R, (1 + |x|) dx) and satisfies R u 0 (x) dx = 0. We provide conditions on the size, and shape of the initial datum u 0 as well as on the exponent q > 1 such that the large time asymptotics of solutions is given either by the derivative of the Gauss-Weierstrass kernel, or by a self-similar solution of the equation, or by hyperbolic N -waves.
Comportement asymptotique des solutions d'équations de convection-diffusionRésumé. Le comportement asymptotique des solutions de masse nulle du problème de Cauchy pour l'équation de convection-diffusion u t − u xx + (|u| q ) x = 0, u(x, 0) = u 0 (x) estétudié lorsque q > 1 et la donnée initiale u 0 appartientà L 1 (R, (1+|x|) dx) et satisfait R u 0 (x) dx = 0. Nous donnons des conditions sur l'amplitude et la forme de la donnée initiale u 0 et sur l'exposant q > 1 sous lesquelles le comportement asymptotique des solutions est décrit par la dérivée première du noyau de Gauss-Weierstrass, ou par une solution auto-similaire de l'équation, ou par une N -onde hyperbolique.
Version française abrégéeNousétudions le comportement asymptotique, lorsque t → ∞, des solutions de masse nulle du problème de Cauchy pour l'équation de convection-diffusion (1)-(2). Il est clair que cetteéquation met en jeu une compétition entre le terme de diffusion u xx et le terme de convection non linéaire (|u| q ) x , et le but de notreétude est de déterminer lequel de ces deux termes devient prépondérant lorsque t → ∞. Lorsque la masse totale M = R u 0 (x) dx = 0, ce problème aété considéré en particulier dans [7,8,12]. Lorsque M = 0, les résultats de [7,8,12] se traduisent seulement par la convergence de u(t) vers zéro dans L 1 (R). Nous présentons, dans cette note, des résultats plus précis pour certaines classes de données initiales. En effet, nous exhibons le premier terme dans le développement asymptotique des solutions de (1)-(2) selon les valeurs du paramètre q > 1 et le signe (etéventuellement la taille) de la primitive de la donnée initiale u 0 .Nous supposons que u 0 vérifie (3) et désignons par u la solution correspondante de (1)-(2). Signalons dèsà présent que notre approche est basée sur l'étude de l'équation de Hamilton-Jacobi diffusive (7)- (8) 2 S. Benachour, G. Karch, and Ph. Laurençot qui est naturellement associéeà (1)-(2). En effet, la primitive U de u, définie par (6), est solution de (7)- (8).En premier lieu, nousétudions le cas où la diffusion régit le comportement en temps grands.Théorème 1 Supposons que l'une des trois conditions suivantes soit vérifiée :où I ∞ est un réel non nul défini par (10) et G est la solution fondamentale de l'équation de la chaleur.Considérons ensuite le cas où U 0 ≥ 0 et q ∈ (1, 3/2). L'influence des effets convectifs et diffusifs s'équilibre lorsque t → ∞ et on a le résultat suivant :Théorème 2 Si q ∈ (1, 3/2) et U 0 ≥ 0 vérifie l...