An Oleinik-type estimate for a convection–diffusion equation and convergence to N-waves

Kim, Yong Jung

doi:10.1016/j.jde.2003.10.014

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“…In this situation, some sufficient conditions on U(0) are given in [19] for the solution to (2.19) to exhibit a diffusion-dominated large time behavior. Also, convergence to N-waves is studied in [20] but, for solutions satisfying (2.20), no condition is given in that paper which guarantees that U(t) really behaves as an N-wave for large times. As a consequence of our analysis, we specify such a condition and also provide several new information on the large time behavior of solutions to (2.19) satisfying (2.20).…”

Section: Non-positive Initial Conditionsmentioning

confidence: 99%

Asymptotic profiles of solutions to viscous Hamilton–Jacobi equations

Benachour¹,

Karch²,

Laurençot³

2004

Journal de Mathématiques Pures et Appliquées

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The large time behavior of solutions to the Cauchy problem for the viscous Hamilton-Jacobi equation u t − ∆u + |∇u| q = 0 is classified. If q > q c := (N + 2)/(N + 1), it is shown that non-negative solutions corresponding to integrable initial data converge in W 1,p (R N ) as t → ∞ toward a multiple of the fundamental solution for the heat equation for every p ∈ [1, ∞] (diffusion-dominated case). On the other hand, if 1 < q < q c , the large time asymptotics is given by the very singular self-similar solutions of the viscous Hamilton-Jacobi equation.2000 Mathematics Subject Classification: 35K15, 35B40. RésuméNous classifions le comportement asymptotique des solutions du problème de Cauchy pour l'équation de Hamilton-Jacobi avec diffusion u t −∆u+|∇u| q = 0. Si q > q c := (N +2)/(N +1), nous montrons que, lorsque t → ∞, les solutions intégrables et positives convergent dans W 1,p (R N ) vers un multiple de la solution fondamentale de l'équation de la chaleur pour tout p ∈ [1, ∞] (diffusion dominante). Ensuite, si 1 < q < q c , le comportement asymptotique est décrit par la solution très singulière auto-similaire de l'équation de Hamilton-Jacobi avec diffusion.En ce qui concerne les solutions intégrables et négatives, la situation est plus complexe. Le terme de diffusion est de nouveau dominant si q ≥ 2, ainsi que lorsque q c < q < 2 pourvu que la donnée initiale soit suffisamment petite. Ensuite, pour 1 < q < 2, nous identifions une classe de données initiales pour laquelle le comportement asymptotique des solutions est donné par une solution de viscosité auto-similaire de l'équation de Hamilton-Jacobi z t + |∇z| q = 0 avec la condition initiale (non continue) z(x, 0) = 0 si x = 0 et z(0, 0) < 0.

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Section: Non-positive Initial Conditionsmentioning

confidence: 99%

Asymptotic profiles of solutions to viscous Hamilton–Jacobi equations

Benachour¹,

Karch²,

Laurençot³

2004

Journal de Mathématiques Pures et Appliquées

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“…and prove the compactness of the family {u µ } µ (as µ tends to zero) in a suitable functional space. In order to make the reading easier, since α is fixed and µ is a parameter that tends to zero, we omit the index α and only keep the notation u µ when referring to the solution of systems like (14).…”

Section: Nonlocal Conservation Lawsmentioning

confidence: 99%

On the asymptotic behavior of a subcritical convection-diffusion equation with nonlocal diffusion

2017

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In this paper we consider a subcritical model that involves nonlocal diffusion and a classical convective term. In spite of the nonlocal diffusion, we obtain an Oleinik type estimate similar to the case when the diffusion is local. First we prove that the entropy solution can be obtained by adding a small viscous term µu xx and letting µ → 0. Then, by using uniform Oleinik estimates for the viscous approximation we are able to prove the well-posedness of the entropy solutions with L 1 -initial data. Using a scaling argument and hyperbolic estimates given by Oleinik's inequality, we obtain the first term in the asymptotic behavior of the nonnegative solutions. Finally, the large time behavior of changing sign solutions is proved using the classical flux-entropy method and estimates for the nonlocal operator.

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“…Lorsque la masse totale M = R u 0 (x) dx = 0, ce problème aété considéré en particulier dans [7,8,12]. Lorsque M = 0, les résultats de [7,8,12] se traduisent seulement par la convergence de u(t) vers zéro dans L 1 (R). Nous présentons, dans cette note, des résultats plus précis pour certaines classes de données initiales.…”

Section: Version Française Abrégéeunclassified

“…The proof of (17) follows from (1) by the maximum principle and the L ∞ -estimate u(t) ∞ ≤ C(q) U 0 1/q ∞ t −1/q [3,10]. Once (15) is established, the proof of (16) is performed by a classical rescaling method [1,12]. (9) and (14) do not involve the same quantities, it can be shown by an application of Gagliardo-Nirenberg inequalities that, if (9) is fulfilled, the quantity involved in (14) is also small.…”

Section: Hyperbolic-dominated Casementioning

confidence: 99%

“…Il est clair que cetteéquation met en jeu une compétition entre le terme de diffusion u xx et le terme de convection non linéaire (|u| q ) x , et le but de notreétude est de déterminer lequel de ces deux termes devient prépondérant lorsque t → ∞. Lorsque la masse totale M = R u 0 (x) dx = 0, ce problème aété considéré en particulier dans [7,8,12]. Lorsque M = 0, les résultats de [7,8,12] se traduisent seulement par la convergence de u(t) vers zéro dans L 1 (R).…”

unclassified

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Asymptotic profiles of solutions to convection–diffusion equations

Benachour

Karch

Laurençot

2004

Comptes Rendus. Mathématique

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Abstract. The large time behavior of zero-mass solutions to the Cauchy problem for the convectiondiffusion equation u t − u xx + (|u| q ) x = 0, u(x, 0) = u 0 (x) is studied when q > 1 and the initial datum u 0 belongs to L 1 (R, (1 + |x|) dx) and satisfies R u 0 (x) dx = 0. We provide conditions on the size, and shape of the initial datum u 0 as well as on the exponent q > 1 such that the large time asymptotics of solutions is given either by the derivative of the Gauss-Weierstrass kernel, or by a self-similar solution of the equation, or by hyperbolic N -waves. Comportement asymptotique des solutions d'équations de convection-diffusionRésumé. Le comportement asymptotique des solutions de masse nulle du problème de Cauchy pour l'équation de convection-diffusion u t − u xx + (|u| q ) x = 0, u(x, 0) = u 0 (x) estétudié lorsque q > 1 et la donnée initiale u 0 appartientà L 1 (R, (1+|x|) dx) et satisfait R u 0 (x) dx = 0. Nous donnons des conditions sur l'amplitude et la forme de la donnée initiale u 0 et sur l'exposant q > 1 sous lesquelles le comportement asymptotique des solutions est décrit par la dérivée première du noyau de Gauss-Weierstrass, ou par une solution auto-similaire de l'équation, ou par une N -onde hyperbolique. Version française abrégéeNousétudions le comportement asymptotique, lorsque t → ∞, des solutions de masse nulle du problème de Cauchy pour l'équation de convection-diffusion (1)-(2). Il est clair que cetteéquation met en jeu une compétition entre le terme de diffusion u xx et le terme de convection non linéaire (|u| q ) x , et le but de notreétude est de déterminer lequel de ces deux termes devient prépondérant lorsque t → ∞. Lorsque la masse totale M = R u 0 (x) dx = 0, ce problème aété considéré en particulier dans [7,8,12]. Lorsque M = 0, les résultats de [7,8,12] se traduisent seulement par la convergence de u(t) vers zéro dans L 1 (R). Nous présentons, dans cette note, des résultats plus précis pour certaines classes de données initiales. En effet, nous exhibons le premier terme dans le développement asymptotique des solutions de (1)-(2) selon les valeurs du paramètre q > 1 et le signe (etéventuellement la taille) de la primitive de la donnée initiale u 0 .Nous supposons que u 0 vérifie (3) et désignons par u la solution correspondante de (1)-(2). Signalons dèsà présent que notre approche est basée sur l'étude de l'équation de Hamilton-Jacobi diffusive (7)- (8) 2 S. Benachour, G. Karch, and Ph. Laurençot qui est naturellement associéeà (1)-(2). En effet, la primitive U de u, définie par (6), est solution de (7)- (8).En premier lieu, nousétudions le cas où la diffusion régit le comportement en temps grands.Théorème 1 Supposons que l'une des trois conditions suivantes soit vérifiée :où I ∞ est un réel non nul défini par (10) et G est la solution fondamentale de l'équation de la chaleur.Considérons ensuite le cas où U 0 ≥ 0 et q ∈ (1, 3/2). L'influence des effets convectifs et diffusifs s'équilibre lorsque t → ∞ et on a le résultat suivant :Théorème 2 Si q ∈ (1, 3/2) et U 0 ≥ 0 vérifie l...

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An Oleinik-type estimate for a convection–diffusion equation and convergence to N-waves

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On the asymptotic behavior of a subcritical convection-diffusion equation with nonlocal diffusion

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