An application of approximation theory by nonlinear manifolds in Sturm–Liouville inverse problems

Abstract

We give here some negative results in Sturm-Liouville inverse theory, meaning that we cannot approach any of the potentials with m + 1 integrable derivatives on R + by an ω-parametric analytic family better than order of (ω ln ω) −(m+1) .Next, we prove an estimation of the eigenvalues and characteristic values of a Sturm-Liouville operator and some properties of the solution of a certain integral equation. This allows us to deduce from [5] some positive results about the best reconstruction formula by giving an almost optimal formula of order of ω −m .

Approximation de compacts fonctionnels par des variétés analytiques

“…En supposant qu'une telle formule donnée s'écrit comme une fonction analytique en les paramètres ξ j , C j (et Q (s) (0)), et en faisant le lien avec les résultats négatifs donnés en première partie, on obtient deux résultats que l'on va seulement formuler ici, mais qui sont démontrés dans [5]. Le premier concerne le cas de deux dérivées : Théorème 5.…”

“…Ensuite, à cause de la restriction sur les paramètres ζ j , on a besoin d'établir des encadrements sur les valeurs propres et constantes caractéristiques : dans [5], on montre que si Q > 0 est intégrable de classe Le second résultat concerne le cas de m + 1 dérivées intégrables : on dispose de formules pas explicites, mais qui donnent un résultat plus précis puisque l'approximation est de l'ordre de 1 ω m (ici aussi, on pense que la vitesse pourrait être de l'ordre de 1 ω m+1 ). Dans le cas où Q a ses dérivées qui s'annulent en 0, cette formule d'approximation est de la forme :…”

“…On montre ainsi (cf. [5,Section 4]) que A ω est holomorphiquement prolongeable sur le demi-plan { e w > 0} en une fonction A(x, y, w), telle que l'application…”

“…Ainsi une application du Théorème 1.2 et du résul-tat positif donné dans [4] nous dit qu'on ne peut pas approximer n'importe quel potentiel mieux qu'à l'ordre 1 (ω ln ω) m+1 , avec comme résultat positif une formule d'approximation presque optimale à l'ordre 1 ω m . Ces deux résultats sont prouvés dans [5] : en plus de l'utilisation des résultats négatifs, on a besoin d'estimer les valeurs propres et constantes caractéristiques d'un opérateur de Sturm-Liouville.…”

An approximation formula for holomorphic functions by interpolation on the ball

“…Therefore we would like to get some lower bounds for the approximation of any compact subset of holomorphic functions by such a given family. We are also motivated in dealing with the approximation by a nonlinear family with respect to the data f {gn=0} and getting lower bounds that only depend on the ε-entropy of O(B 2 ) (see [10], [8], [9]).…”