An Analog of the Haar Condition for Simple Partial Fractions

Abstract

We prove that for a continuous real-valued function f on the segment [−1, 1] a realvalued simple partial fraction R n with n distinct poles outside the unit disk is a fraction of degree at most n of best approximation and is unique if and only if for the difference f − R n on [−1, 1] there exists a Chebyshev alternance of n + 1 points. The result is applied to the problem on approximation of real constants. Bibliography: 8 titles.

Extremal and Approximative Properties of Simple Partial Fractions

“…В связи с указанным альтернансом возникает вопрос [72,81]: являются ли НД вида ρ n (ω; z) экстремальными в задаче Горина-Чебышева о НД порядка n, наименее уклоняющихся от нуля по норме · * при условии, что расстояние от множества их полюсов до отрезка [−1, 1] не превосходит заданной величины δ > 0? При условии δ > √ 2 − 1 положительный ответ на него получен в [7]: указанное наименьшее уклонение равно норме (25) ρ n (ω; ·) * = n…”

“…Ранее аналог теоремы об альтернансе для случая n вещественных различных полюсов за исключением утверждения о единственности доказал Я. В. Новак [122]. Для случая n различных полюсов достаточность альтернанса была доказана в [23], а необходимость альтернанса и единственность наилучшего приближения в [25].…”

“…Это утверждение для системы функций {(x − z j ) −2 } n j=1 с n попарно различными полюсами z j ∈ R при условии справедливости тождества Борхарта (61) впервые доказано в[122] (см. также[23,25]).…”

Best approximation rate of constants by simple partial fractions and Chebyshev alternance

“…Best approximation criterion [9], [10]. Let the poles of a real-valued simple partial fraction ρ n of order n lie outside the disk |z| ≤ 1, and let f be a continuous real-valued function on [−1, 1].…”

A criterion for the best uniform approximation by simple partial fractions in terms of alternance

“…Эта гипотеза доказана только для постоянных функций f (x) = const (см. работы [7], [15], [16]). Отметим, что задача о наилучшем приближении констант в теории аппроксимаций наипростейшими дробями -это один из возможных аналогов задачи П. Л. Чебышева об унитарном полиноме заданной степени, наименее уклоняющемся от нуля.…”