All binary number-conserving cellular automata based on adjacent cells are intrinsically one-dimensional

Abstract

A binary number-conserving cellular automaton is a discrete dynamical system that models the movement of particles in a d-dimensional grid. Each cell of the grid is either empty or contains a particle. In subsequent time steps the particles move between the cells, but in one cell there can be at most one particle at a time. In this paper, the von Neumann neighborhood is considered, which means that in each time step a particle can move to an adjacent cell only. It is proven that regardless of the dimension d, all of these cellular automata are trivial, as they are intrinsically one-dimensional. Thus, for given d, there are only 4d + 1 binary number-conserving cellular automata with the von Neumann neighborhood: the identity rule and the shift and traffic rules in each of the 2d possible directions.

Digital phagograms: predicting phage infectivity through a multilayer machine learning approach

“…The decomposition theorem applies to any state set and any dimension. By means of this new tool, it has been proven possible to enumerate all NCCAs in the case of some state sets and dimensions, which, up to now, were beyond the capabilities of computers (see, for example, [34,35]), and also, what is even more valuable, it was possible to prove some general facts about NCCAs (see [36,37]).…”

Exploração do Espaço de Regras Conservativas Binárias com Vizinhança de Moore

“…Conforme discutido em [Wolnik and De Baets 2019a], regras que seguem os comportamentos listados a seguir, tanto em ACs unidimensionais quanto em ACs bidimensionais com vizinhança de von Neumann binários, são conservativas:…”

“…Em [Wolnik et al 2017], foram apresentadas as condições necessárias e suficientes para que ACs de dimensões e de estados arbitrários em vizinhança de von Neumann sejam conservativos. Em [Wolnik and De Baets 2019a], foi provado que todos os ACs binários conservativos são intrinsecamente unidimensionais em vizinhança de von Neumann, independente de suas dimensões, istoé, sempre existirá 4d + 1 regras conservativas, sendo elas a identidade, os deslocamentos e as regras de tráfego. Em [Wolnik and De Baets 2019b], foi mostrado um novo método de estudo de reversibilidade em ACs conservativos k-ários d-dimensionais com vizinhança de von Neumann, utilizando-se do método da decomposição de regras por divisão e perturbação (split-andpertubation decomposition); nesse trabalho, o foco foi mostrar que ACs conservativos reversíveis ternários d-dimensionais não são suficientes para decretar a existência de ACs não triviais com as características citadas anteriormente.…”