Algebraic de Rham theorem and Baker-Akhiezer function

Abstract

Для случая алгебраических кривых (компактных римановых поверхностей) показано, что группа когомологий де Рама $H^1_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb{C})$ римановой поверхности $X$ рода $g$ имеет естественную структуру симплектического векторного пространства. Выбор неспециального эффективного дивизора $D$ степени $g$ на $X$ задает симплектический базис $H^1_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb{C})$, состоящий из голоморфных дифференциалов и дифференциалов второго рода с полюсами в $D$. Этот результат, алгебраическая теорема де Рама, позволяет описать касательное пространство к многообразиям Пикара и Якоби римановой поверхности $X$ в терминах дифференциалов второго рода и определить естественные векторные поля на многообразии Якоби, отвечающие движению точек дивизора $D$. В терминах формализма Лакса на алгебраических кривых эти векторные поля соответствуют уравнениям Дубровина в теории интегрируемых систем, а функция Бейкера-Ахиезера естественным образом получается интегрированием вдоль интегральных кривых. Библиография: 14 наименований.