Actions de groupes de Kazhdan sur le cercle

Abstract

Nous démontrons que tout homomorphisme d'un groupe de Kazhdan discret dans le groupe des difféomorphismes directs du cercle de classe C 1+α (α > 1/2) a une image finie.  2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS ABSTRACT.-We prove that every homomorphism from a discrete Kazhdan group to the group of orientation-preserving diffeomorphisms of the circle of class C 1+α (α > 1/2) has a finite image.

C1actions on the mapping class groups on the circle

“…Then for any C 1 action of H G on the circle, the induced action of either H 1 or 1 G factors through an action of a finite group. This is related to a result of Navas about actions of groups with property (T) on the circle; in [13] he proves that for˛> 1=2, any C 1C˛a ction of a discrete Kazhdan group on the circle factors through an action of a finite group.…”

Quelques nouveaux phénomènes de rang 1 pour les groupes de difféomorphismes du cercle

“…Le théorème dans [27] donne donc en particulier une nouvelle dé-monstration (en classe C 1+α , α > 1/2) de l'un des résultats obtenus par É. Ghys dans [16] et indépendamment par M. Burger et N. Monod dans [4], à savoir pour toute représentation φ d'un réseau d'un groupe de Lie simple de rang réel supérieur ou égal à 2 dans le groupe des difféomorphismes directs et de classe C 1 du cercle, l'image φ( ) est finie. Néanmoins, dans [16], É. Ghys obtient également la classification des actions de réseaux irréductibles de groupes de Lie semi-simples de rang supérieur par difféomorphismes directs et de classe C 1 du cercle (voir aussi [5] et le §14 de [23], où M. Burger et N. Monod obtiennent des résultats analogues grâce à leur étude de la cohomologie bornée).…”

“…L'un des phénomènes principaux qui permettent de justifier cette affirmation est donné par un théorème obtenu par l'auteur dans [27], lequel généralise dans plusieurs directions des résultats contenus dans [4], [5], [11], [16], [34], [39] et [40] (valables toutefois sous des hypothèses de régularité plus faibles). Rappelons qu'un groupe topologique localement compact possède la propriété (T) de Kazhdan si toute représentation affine (isométrique) de sur un espace de Hilbert admet un vecteur invariant.…”

“…Sous une telle hypothèse, nous démon-trons le résultat suivant, lequel peut être considéré comme une petite généralisation du théorème énoncé précédemment. La démonstration de ce théorème est inspirée de [27]. L'amélioration technique essentielle consiste en une preuve courte et conceptuelle d'une proposition énon-cée (et non démontrée) dans [27], suivant laquelle les sous-groupes de Diff 1+α + (S 1 ), α > 1/2, sur lesquels le cocycle de Liouville est cohomologiquement trivial sont topologiquement conjugués à des sous-groupes de PSL(2, R).…”

Groups of Circle Diffeomorphisms

“…The theorem below, obtained by the author in [185] (inspired by [212]), may be thought of as an analogue for Kazhdan groups of the results discussed above under a supplementary regularity condition. Kazhdan's property may be also considered for non discrete groups, mainly for locally compact ones.…”