About Boussinesq's turbulent viscosity hypothesis: historical remarks and a direct evaluation of its validity

Abstract

Boussinesq's hypothesis is at the heart of eddy viscosity models, which are used in many different fields to model turbulent flows. In its present time formulation, this hypothesis corresponds to an alignment between Reynolds stress and mean strain tensors. We begin with historical remarks on Boussinesq's results and recall that he introduced a local averaging twenty years before Reynolds, but using an approach that prevented him from discovering Reynolds' stress tensor. We then introduce an indicator that characterizes the validity of this hypothesis. For experimental and numerical databases, when the tensors are known, this can be used to directly estimate the validity of this hypothesis. We show, using several different databases, that this hypothesis is almost never verified. We address in conclusion the analogy with kinetic theory, and the reason why this analogy cannot be applied in general for turbulent flows. RésuméA propos de l'hypothèse de viscosité turbulente de Boussinesq : rappels historiques etévaluation directe. L'hypothèse de Boussinesq est au coeur des modèles de viscosité, utilisés dans un grand nombre de contextes pour modéliser desécoulements turbulents. Dans sa formulation moderne, cette hypothèse correspond a un alignement entre tenseur de contrainte de Reynolds et tenseur de déformation moyen. Nous rappelons le contexte historique de l'énoncé de cette hypothèse, en soulignant que Boussinesq avait introduit une moyenne locale vingt ans avant Reynolds, mais en effectuant une erreur qui l'a privé de la mise enévidence du tenseur de Reynolds. Nous introduisons ensuite un indicateur, compris entre 0 et 1, indiquant le degré de validité de cette hypothèse. Pour des bases de données expérimentales et numériques, lorsque les différents tenseurs sont connus, ceci permet de tester directement, "a priori", cette hypothèse. Nous montrons ainsi, utilisant différentes bases de données d'écoulements turbulents, que l'hypothèse n'est presque jamais vérifiée. Nous discutons en conclusion de la théorie cinétique des gaz et de la raison pour laquelle cette analogie est discutable pour lesécoulements turbulents. Version française abrégéeLe "problème de la turbulence" touche un grand nombre de domaines, incluant l'ingénierie automobile, chimique, la combustion, l'aéronautique, la météorologie, l'océanologie, l'hydrologie, l'hydraulique fluviale, etc. Ces domaines sontà fort potentiel industriel et environnemental, et demandent souvent des réponses pratiques et quantitatives, faisant appelà des modèles. Parmi les différentes familles de modèles existant, beaucoup utilisent une moyenne de Reynolds, qui font intervenir les fluctuations instantannéesà petiteś echelles via le tenseur de Reynolds. La modélisation intervient ici, et permet de fournir, via une hypothèse, une "fermeture" exprimant le tenseur de Reynolds en fonction de quantités moyennes. La fermeture la plus courante, fournissant le tenseur de Reynolds en fonction du champ de vitesse moyen, est celle qui est utilisée dans les modèles de viscos...

Volumetric velocity measurements in restricted geometries using spiral sampling: a phantom study

“…This approach is known to give less accurate results in several flow situations including those containing rapid changes in mean rate of strain, such as flows with a constriction. An in depth discussion on these matters can be found in [47]. The RSM, on the other hand, does not rely on this hypothesis and instead contains a set of partial differential equations for the Reynolds stress tensor.…”

Experimental and numerical investigation on cloud cavitating flow around an axisymmetric projectile near the wall with emphasis on the analysis of local cavity shedding

“…A sub-grid viscosity μ sgs is considered to solve the sub-grid stress tensor according to the Boussinesq hypothesis (Schmitt, 2007). Therefore, the sub-grid stress tensor becomes:…”

Estudio computacional de la influencia del levantamiento de aguja sobre el flujo interno y el fenómeno de la cavitación en toberas de inyección diésel

“…Tal y como demuestran numerosas tesis presentadas durante los últimos años [16][17][18][19][20][21][22][23][24], el Departamento de Máquinas y Motores Térmicos de la Universidad Politécnica de Valencia posee una dilatada experiencia en el estudio del proceso de inyección Diesel. De todas ellas, existen dos trabajos estrechamente relacionados con la presente Tesis, puesto que se ocupan del estudio del flujo interno o del spray en condiciones cavitantes.…”

“…De hecho, autores como Arai et al [18], Hiroyasu et al [19] y Soteriou et al [20] encontraron evidencias sobre el incremento significativo del ángulo del chorro ya durante la primera fase de la cavitación (cavitación incipiente). Simultáneamente, la longitud intacta se reducía.…”

“…), desarrolladas con el fin de adaptarse mejor a las características específicas de los diferentes problemas existentes en el campo de la dinámica de fluidos. Para nuestro caso en particular, dominado por fuertes gradientes de presión y velocidad, se ha optado por un modelo RNG k-, desarrollado por Yakhot et al [17], que, basado en la hipótesis de Boussinesq [18], resuelve una ecuación de transporte adicional para la energía cinética turbulenta (k) y otra ecuación de transporte para la velocidad de disipación de energía turbulenta ( ):…”