A wave equation in 2+1: Painleve analysis and solutions

Abstract

In this paper the nonlinear equation mly = ( m , + mxmy)x is throughly analysed.The Painlev6 test is performed yielding a positive result. The Bgcklund transformations are found and the Darboux-Moutan-Matveev formalism arises in the context of this analysis. The singular manifold method, based upon the Painlev6 analysis, is proved to be a useful tool for genenring solutions. Some interesting explicit expressions for one and W O solitons are obtained and analysed in such a way. This system may be considered as a model for an incompressible fluid where U and U are the components of the velocity. The spectral transform for this system has been investigated in [l] and more details can be found in [2]. This system has been considered in [3] as a generalization to 2 + 1 of the results from Hirota and Satsuma [4]. The nonclassical symmetries, PainlevC property and solutions of the same 1 + 1 reduction of (1.1) considered in [4] have been studied by Clarkson and Mansfield [5]. It is also interesting to notice that for x = y the system (1.1) reduces to the KdV equation [l].

Darboux transformation and solutions for an equation in 2+1 dimensions

“…Particular case: When a + 2 = a + 1 , or a − 2 = a − 1 , A = 0 and this is said to be resonant state [18] VI..2 Dromions m = 0…”

Преобразования Двойственности Для Спектральной Задачи В Размерности $2+1$

“…В предыдущих работах [1]- [3] мы рассмотрели применение метода сингулярного многообразия к уравнениям в размерности 2 + 1 вида…”

“…В работах [1] и [2] исследовалось уравнение (1.1) в случаях n 0 = 0 и n 0 = −3/4, при этом использовался метод сингулярного многообразия и были получены пары Лакса этих уравнений [4]. Основываясь на результатах этих работ, мы предлагаем спектральную задачу вида φ x1x1x1 − φ x3 + 3H x1 φ x1 + b 1 H x1x1x1 φ = 0,…”

“…Заметим, что эти значения k в точности соответствуют случаям, проанализирован-ным в работах [1], [2]. Поэтому спектральная задача имеет вид…”

“…Как было доказано в работах [1], [2], метод сингулярного многообразия, осно-ванный на свойстве Пенлеве [4], является превосходным инструментом для вывода пар Лакса многих уравнений. К сожалению, свойство Пенлеве в сильной степени зависит от переменных, используемых для записи уравнения.…”