Resumo. Neste trabalho, estendemos os resultados obtidos por Horgan e Payne [6] em 1992, e demonstramos que o Princípio de Saint-Venanté verdadeiro para um corpo ocupando a região retangular Ω = {(x1, x2)| 0 < x1 < l, −h/2 < x2 < h/2} onde l ≫ h, do plano Cartesiano, em material elástico, cuja equação constitutivaé uma generalização da Lei de Hooke com termos não lineares em pequenas deformações. Os termos não lineares considerados pelos citados autores são pelo menos de terceira ordem. A inclusão dos termos de segunda ordem neste trabalho representa um modelo mais realístico. O resultado principalé estabelecido usandose técnicas de desigualdades diferenciais para funcionais quadráticos.
IntroduçãoBoussinesq [1], em 1885, foi o primeiro a tentar uma formulação e uma prova rigorosa para a conjectura elaborada por Sain-Venant [10] publicada em 1853, elevando a conjectura original ao posto de "Princípio", e muitos textos até hoje, dão Boussinesq como referência para a demonstração do Princípio de Saint-Venant. Entretanto, uma prova de que o resultado vale dentro da teoria linear só foi conseguida por Toupin [11] em 1965.Resultados semelhantes ao Princípio de Saint-Venant, dentro de uma teoria restrita da elasticidade não linear, foram obtidos por Roseman [9], Roseman e Breuer [2], Horgan e Knowles [3,4], Horgan e Payne [5,6], todos sob a hipótese de pequenas deformações.O objetivo principal deste trabalhoé fazer uma extensão dos resultados obtidos por Horgan e Payne [6], e demonstrar que o Princípio de Saint-Venanté verdadeiro para um material elástico ocupando uma região retangular, utilizando para isso uma equação constitutiva não linear considerando pequenas deformações como uma generalização natural da Lei de Hooke. Esta equação contém termos não lineares de segunda ordem; termos estes importantes e não considerados em [6].Usaremos a convenção de somatório para simplificar expressões, ou seja, quando um par deíndices aparece numa expressão significa um somatório sobre oíndice de 1 a 2, no caso bidimensional. Com esta convenção, por exemplo, [u, ij ], ij = 0, onde a vírgula representa a derivada parcial,é a clássica equação biharmônica.