A Review and Mathematical Treatment of Infinity on the Smith Chart, 3D Smith Chart and Hyperbolic Smith Chart

Abstract

This work describes the geometry behind the Smith chart, recent 3D Smith chart tool and previously reported conceptual Hyperbolic Smith chart. We present the geometrical properties of the transformations used in creating them by means of inversive geometry and basic non-Euclidean geometry. The beauty and simplicity of this perspective are complementary to the classical way in which the Smith chart is taught in the electrical engineering community by providing a visual insight that can lead to new developments. Further we extend our previous work where we have just drawn the conceptual hyperbolic Smith chart by providing the equations for its generation and introducing additional properties.

La carta de Smith y sus generalizaciones

“…La carta de Smith hiperbólica (Müller y Sanabria, 2016, Pérez-Peñalver et al, 2018, como la carta de Smith 3D, es una representación acotada del ρ-plano extendido, en este caso dentro de un disco unitario del plano. Este hecho facilita su uso práctico, ya que no se necesita ninguna herramienta de software para interpretar los resultados obtenidos, como en la carta esférica.…”

“…Sin embargo, también la carta de Smith 3D presenta algunos inconvenientes, como por ejemplo, la dificultad de analizar los resultados obtenidos sin herramientas de software adecuadas. Así, los autores siguieron explorando otras posibilidades y, partiendo de la idea de Gupta (Gupta, 2006) que relacionaba la carta de Smith con la geometría hiperbólica y el arte de Escher, desarrollaron en 2016 una nueva generalización, denominada carta de Smith hiperbólica 2D (Müller y Sanabria, 2016, de la que posteriormente han estudiado sus propiedades en (Pérez-Peñalver et al, 2018). Esta carta también es adecuada para circuitos con cualquier valor en su coeficiente de reflexión de voltaje (0 < ρ < ∞), de manera que todos son representados en el disco de radio uno, como vemos en la Figura 4.…”