A priori error estimates for finite element methods with numerical quadrature for nonmonotone nonlinear elliptic problems

Abdulle, Assyr; Vilmart, Gilles

doi:10.1007/s00211-011-0438-4

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“…These results are however not trivial already in the linear case (see [23] for a very general analysis). In particular for nonlinear problems, quantitative error bounds have only recently be obtained for elliptic problems motivated by numerical homogenization [7,11,12]. We will highlight in the following sections the main ideas to derive error estimates for FEM with numerical integration for various linear and nonlinear problems and show how such solvers naturally arise in numerical homogenization.…”

Section: Numerical Homogenization Methodsmentioning

confidence: 99%

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The role of numerical integration in numerical homogenization

Abdulle

2015

ESAIM: Proc.

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Abstract. Finite elements methods (FEMs) with numerical integration play a central role in numerical homogenization methods for partial differential equations with multiple scales, as the effective data in a homogenization problem can only be recovered from a microscopic solver at a finite number of points in the computational domain. In a multiscale framework the convergence of a FEM with numerical integration applied to the effective (homogenized) problem guarantees that the so-called macroscopic solver is consistent and convergent. Convergence results for FEM with numerical integration are however scarce in the literature and need often to be derived as a first step to analyze a numerical homogenization method for a given problem. In this paper we review and explain the main ideas in deriving convergence results for FEM with numerical integration for linear and nonlinear elliptic problems and explain the role of these methods in numerical homogenization.Résumé. Les méthodes d'éléments finis avec intégration numérique par quadrature jouent un rôle central dans l'homogénéisation numérique deséquations aux dérivées partielles multi-échelles. En effet, les coefficients de l'équation homogénéisée ne peuventêtre déterminés que pour un nombre fini de points du domaine considéré. Dans le cadre des méthodes multi-échelles basées sur un schéma macroscopique avec intégration numérique en la variable macroscopique et coupléesà des schémas microscopiques autour des points de quadratures, la convergence d'une méthode d'élément fini avec intégration numérique pour le problème homogénéisé garantit que la méthode macroscopique est consistante et convergente. Comme les résultats de convergence pour les méthodes d'éléments finis avec intégration numérique ne sont connus que pour un nombre limité de problèmes, des nouveaux résultats de ce type sont alors un premier pas indispensable pourétablir la convergence d'une méthode d'homogénéisation numérique pour un problème donné. Dans ce papier, nous effectuons un survol des idées clés pour l'analyse des méthodes d'éléments finis avec intégration numérique pour des problèmes linéaires et non linéaires et expliquons le rôle de ces méthodes dans l'homogénéisation numérique.

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Section: Numerical Homogenization Methodsmentioning

confidence: 99%

“…For linear parabolic and hyperbolic problems results by Raviart [35] and Baker & Dougalis [17] are available. However for nonlinear problems quantitative error bounds have only recently be obtained for elliptic problems (of monotone and nonmonotone type) motivated by numerical homogenization [7,11,12].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

The role of numerical integration in numerical homogenization

Abdulle

2015

ESAIM: Proc.

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“…The uniqueness of the FEM solution follows from Theorem 3.2. 2 Theorem 3.2 Consider u h a solution of (4). Under the assumptions of Theorem 3.1, there exist h 0 , δ > 0 such that if h ≤ h 0 and σ h z h 0 − u h H 1 (Ω) ≤ δ, then the sequence {z h k } for the Newton method 3…”

Section: Finite Element Methods With Numerical Quadraturementioning

confidence: 99%

“…In addition, our results are also valid for arbitrary high-order elements of simplicial or quadrilateral type, optimal error estimates are obtained for the L 2 norm, and improved estimates are obtained for the resonance error. More details on the results and the analysis presented here are given in [4] (one-scale problems) and [5] (multi-scale problems) .…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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The effect of numerical integration in the finite element method for nonmonotone nonlinear elliptic problems with application to numerical homogenization methods

Abdulle¹,

Vilmart²

2011

Comptes Rendus. Mathématique

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To cite this version:Assyr Abdulle, Gilles Vilmart. The effect of numerical integration in the finite element method for nonmonotone nonlinear elliptic problems with application to numerical homogenization methods. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, Elsevier, 2011Elsevier, , 349, pp.1041Elsevier, -1046Elsevier, . <10.1016Elsevier, /j.crma.2011.005>. Numerical AnalysisThe effect of numerical integration in the finite element method for nonmonotone nonlinear elliptic problems with application to numerical homogenization methods Received *****; accepted after revision +++++ AbstractA finite element method with numerical quadrature is considered for the solution of a class of second-order quasilinear elliptic problems of nonmonotone type. Optimal a-priori error estimates for the H 1 and the L 2 norms are derived. The uniqueness of the finite element solution is established for a sufficiently fine mesh. Our results permit the analysis of numerical homogenization methods. To cite this article: A. Abdulle, G. Vilmart, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I ** (20**).Résumé L'effet de l'intégration numérique sur la méthode deséléments finis pour des problèmes nonmonotones elliptiques, avec application aux méthodes numériques d'homogénéisation. On considère des méthodes d'éléments finis avec intégration numérique par quadrature pour des problèmes elliptiques quasilinéaires de type non-monotone. Les vitesses de convergence optimales pour les normes H 1 et L 2 sont démontrées ainsi que l'unicité de la solution numérique pour un maillage suffisamment fin. Ces résultats permettent l'analyse multi-échelles de méthodes d'homogénéisation numérique. Version française abrégéePour des problèmes elliptiques linéaires ou monotones, l'effet de l'intégration numérique sur la méthode deséléments finis est analysé dans [7,15] et [12]. Cependant, il n'existeà notre connaissance aucune analyse de vitesses de convergence pour des problèmes nonlinéaires de type nonmonotones. Dans [11], la convergence H 1 de la solution numérique estétablie, mais sans vitesse de convergence et seulement pour deséléments finis linéaires par morceaux. L'objet de cet article est d'analyser l'influence des erreurs de quadrature pour la méthode deséléments finis appliquéeà la classe d'équations elliptiques quasi-linéaires non-monotones (1). Sous des hypothèses usuelles sur le maillage pour des problèmes non-linéaires, sur la régularité des coefficients et des données, et sur les formules de quadrature (Q1),(Q2),également usuelles tant pour des problèmes avec intégration numérique (voir [7] ou [8, Sect. 29]) que pour des problèmes non-linéaires [11,16,10], nous prouvons des estimations optimales d'erreur pour les normes H 1 et L 2 de la méthode d'éléments finis (4), pour desélements simpliciaux ou quadrilatéraux d'ordre arbitraire. Nous prouvonségalement l'unicité de la solution numérique.Une application importante de notreétude est une analyse (avec discrétisation totale deséchellesà la fois macroscopiques et microsco...

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An offline–online homogenization strategy to solve quasilinear two‐scale problems at the cost of one‐scale problems

Abdulle

Bai

Vilmart

2014

Numerical Meth Engineering

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SUMMARYInspired by recent analyses of the finite element heterogeneous multiscale method and the reduced basis technique for nonlinear problems, we present a simple and concise finite element algorithm for the reliable and efficient resolution of elliptic or parabolic multiscale problems of nonmonotone type. Solutions of appropriate cell problems on sampling domains are selected by a greedy algorithm in an offline stage and assembled in a reduced basis (RB). This RB is then used in an online stage to solve two-scale problems at a computational cost comparable to the single-scale case. Both the offline and the online cost are independent of the smallest scale in the physical problem. The performance and accuracy of the algorithm are illustrated on 2D and 3D stationary and evolutionary nonlinear multiscale problems.KEY WORDS: nonlinear nonmonotone problems, numerical homogenization, reduced basis method, a posteriori error estimator, finite element method

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A priori error estimates for finite element methods with numerical quadrature for nonmonotone nonlinear elliptic problems

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The role of numerical integration in numerical homogenization

The role of numerical integration in numerical homogenization

The effect of numerical integration in the finite element method for nonmonotone nonlinear elliptic problems with application to numerical homogenization methods

An offline–online homogenization strategy to solve quasilinear two‐scale problems at the cost of one‐scale problems

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