A preparation theorem for codimension-one foliations

Abstract

After gluing foliated complex manifolds, we derive a preparation-like theorem for singularities of codimension-one foliations and planar vector fields (in the real or complex setting). Without computation, we retrieve and improve results of Levinson-Moser for functions, Dufour-Zhitomirskii for nondegenerate codimension-one foliations (proving in turn the analyticity), Stróżyna-Żo ladek for non degenerate planar vector fields and Bruno-Écalle for saddle-node foliations in the plane.

On non-Kupka points of codimension one foliations on ℙ3

“…These phenomenon arise naturally in the intersection of irreducible components of F(M, L). The following result is a local normal form for ω near the singular set and is a consequence of a result of Loray (2006). Theorem 1.…”

Cyclicity of a fake saddle inside the quadratic vector fields

“…This proposition is even valid up to N = ∞ (this is a reduction to Liénard form, see for example [22]), and is well-known. Here we restrict to giving the procedure to normalize up to cubic terms, the general case being a direct generalization.…”

Feuilletages holomorphes de codimension 1: une étude locale dans le cas dicritique

“…On pourrait penser que celà décrit la situation générique (pour la topologie de Krull), mais il n'en est rien : on sait en effet depuis Kupka et Reeb que la condition dω(0) = 0 implique que le lieu singulier est lisse de codimension deux et cette propriété est évidemment stable. Nous précisons dans le texte ce phénomène bien connu et nous présentons la classification des 1−formes intégrables dont le 1−jet est non trivial suivant les travaux de [17,12,19]. Une grande partie du travail que nous proposons repose sur l'idée naïve suivante ; si l'on procède au développement de Taylor de ω : ω = ω ν + ω ν+1 + · · · + ω k + · · · où chaque ω k est une 1−forme homogène de degré k, i.e.…”

“…Le point 5 nécessite une étude fine des déploiements des feuilletages du plan à singularité nilpotente. Cette étude est rendue possible par l'utilisation du Théorème de Préparation de F. Loray [19]. A titre d'exemple, on démontre que si ω 0 ∈ Ω 1 (C 2 , 0) est à singularité nilpotente et à nombre de Milnor µ(ω 0 ; 0) de type p − 1 avec p premier, alors tout déploiement F ω de F ω0 à singularité nilpotente (In(ω) = In(ω 0 )) est trivial ou bien F ω0 (et F ω ) possède une intégrale première holomorphe non constante.…”