Search citation statements
Paper Sections
Citation Types
Year Published
Publication Types
Relationship
Authors
Journals
The article considers the scientific heritage of V. A. Rokhlin in algebraic topology from the point of view of the modern development of mathematics and shows the influence of his results on the development of algebraic topology up to the present. The second part of the article contains new results with fairly detailed sketches of their proofs. There we introduce the notion of partially framed manifolds, which naturally arise in the study of the characteristic classes of vector bundles over the loop space Ω S U ( 2 ) = Ω S P ( 1 ) \Omega SU(2)=\Omega SP(1) . We obtain theorems on the divisibility of the signature of such manifolds as a result of calculations of characteristic classes with values in complex and quaternionic cobordism.
The article considers the scientific heritage of V. A. Rokhlin in algebraic topology from the point of view of the modern development of mathematics and shows the influence of his results on the development of algebraic topology up to the present. The second part of the article contains new results with fairly detailed sketches of their proofs. There we introduce the notion of partially framed manifolds, which naturally arise in the study of the characteristic classes of vector bundles over the loop space Ω S U ( 2 ) = Ω S P ( 1 ) \Omega SU(2)=\Omega SP(1) . We obtain theorems on the divisibility of the signature of such manifolds as a result of calculations of characteristic classes with values in complex and quaternionic cobordism.
In 1987 Brehm and Kühnel showed that any combinatorial $d$-manifold with less than $3d/2+3$ vertices is PL homeomorphic to the sphere and any combinatorial $d$-manifold with exactly $3d/2+3$ vertices is PL homeomorphic to either the sphere or a manifold like a projective plane in the sense of Eells and Kuiper. The latter possibility may occur for $d\in\{2,4,8,16\}$ only. There exist a unique $6$-vertex triangulation of $\mathbb{RP}^2$, a unique $9$-vertex triangulation of $\mathbb{CP}^2$, and at least three $15$-vertex triangulations of $\mathbb{HP}^2$. However, until now, the question of whether there exists a $27$-vertex triangulation of a manifold like the octonionic projective plane has remained open. We solve this problem by constructing a lot of examples of such triangulations. Namely, we construct $634$ vertex-transitive $27$-vertex combinatorial $16$-manifolds like the octonionic projective plane. Four of them have symmetry group $\mathrm{C}_3^3\rtimes \mathrm{C}_{13}$ of order $351$, and the other $630$ have symmetry group $\mathrm{C}_3^3$ of order $27$. Further, we construct more than $10^{103}$ non-vertex-transitive $27$-vertex combinatorial $16$-manifolds like the octonionic projective plane. Most of them have trivial symmetry group, but there are also symmetry groups $\mathrm{C}_3$, $\mathrm{C}_3^2$, and $\mathrm{C}_{13}$. We conjecture that all the triangulations constructed are PL homeomorphic to the octonionic projective plane $\mathbb{OP}^2$. Nevertheless, we have no proof of this fact so far. Bibliography: 52 titles.
В 1987 г. У. Брем и В. Кюнель показали, что всякая триангуляция $d$-мерного многообразия (без края), не гомеоморфного сфере, имеет не меньше $3d/2+3$ вершин. Более того, триангуляции ровно с $3d/2+3$ вершинами могут существовать только для "многообразий, похожих на проективные плоскости", которые бывают только в размерностях $2$, $4$, $8$ и $16$. Имеются $6$-вершинная триангуляция вещественной проективной плоскости $\mathbb{RP}^2$, $9$-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости $\mathbb{CP}^2$ и $15$-вершинные триангуляции кватернионной проективной плоскости $\mathbb{HP}^2$. Недавно автор построил первые примеры $27$-вершинных триангуляций многообразий, похожих на октавную проективную плоскость $\mathbb{OP}^2$. Четыре наиболее симметричные из них имеют группу симметрий $\mathrm{C}_3^3\rtimes \mathrm{C}_{13}$ порядка $351$. Эти триангуляции были найдены при помощи компьютерной программы после того, как была угадана их группа симметрий. Тем не менее оставалось совершенно непонятным, почему именно эта группа реализуется как группа симметрий и существуют ли $27$-вершинные триангуляции многообразий, похожих на $\mathbb{OP}^2$, с другими (возможно, большими) группами симметрий. В настоящей работе даются сильные ограничения на группы симметрий таких $27$-вершинных триангуляций. А именно, приводится список из $26$ подгрупп симметрической группы $\mathrm{S}_{27}$, содержащий все возможные группы симметрий $27$-вершинных триангуляций многообразий, похожих на октавную проективную плоскость. (Нам не известно, все ли эти подгруппы реализуются как группы симметрий.) Группа $\mathrm{C}_3^3\rtimes \mathrm{C}_{13}$ является самой большой в этом списке, причем порядки всех остальных групп не превосходят $52$. Ключевую роль в нашем подходе играет использование результатов П. Смита и Г. Бредона о топологии множеств неподвижных точек конечных групп преобразований. Библиография: 36 названий.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.
hi@scite.ai
10624 S. Eastern Ave., Ste. A-614
Henderson, NV 89052, USA
Copyright © 2024 scite LLC. All rights reserved.
Made with 💙 for researchers
Part of the Research Solutions Family.