A mathematical model of systemic inhibition of angiogenesis in metastatic development

Abstract

Abstract. We present a mathematical model describing the time development of a population of tumors subject to mutual angiogenic inhibitory signaling. Based on biophysical derivations, it describes organism-scale population dynamics under the influence of three processes: birth (dissemination of secondary tumors), growth and inhibition (through angiogenesis). The resulting model is a nonlinear partial differential transport equation with nonlocal boundary condition. The nonlinearity stands in the velocity through a nonlocal quantity of the model (the total metastatic volume). The asymptotic behavior of the model is numerically investigated and reveals interesting dynamics ranging from convergence to a steady state to bounded non-periodic or periodic behaviors, possibly with complex repeated patterns. Numerical simulations are performed with the intent to theoretically study the relative impact of potentiation or impairment of each process of the birth/growth/inhibition balance. Biological insights on possible implications for the phenomenon of "cancer without disease" are also discussed.Résumé. Nous présentons un modèle mathématique décrivant le développement temporel d'une population de tumeurs en interactions mutuelles via des signaux d'inhibition de l'angiogénèse. Basé sur une dérivation biophysique, il décrit la dynamique,à l'échelle de l'organisme, qui résulte de l'influence relative de trois processus: naissance (dissémination de tumeurs secondaires), croissance et inhibition (de l'angiogénèse). Le modèle résultant est uneéquation aux dérivées partielles de transport non-linéaire avec condition aux limites non-locale. La non-linéarité réside dans une quantité non-locale (le volume métastatique global) présente dans la vitesse de croissance. Le comportement asymptotique du modèle estétudié numériquement et révèle des dynamiques intéressantes, allant de la convergence vers un point d'équilibreà des solutions périodiques exhibant des comportements non-triviaux. Des solutions bornées et non-périodiques sont aussi observées. Nous présentons une exploration numérique de l'espace des paramètres dans le but d'étudier théoriquement l'effet de la balance naissance/croissance/inhibition. De potentielles implications biologiques concernant le phénomène de "cancer sans maladie" sont aussi discutées.