A Low-Complexity Approach to Computation of the Discrete Fractional Fourier Transform

Abstract

This paper proposes an effective approach to the computation of the discrete fractional Fourier transform for an input vector of any length N . This approach uses specific structural properties of the discrete fractional Fourier transformation matrix. Thanks to these properties, the fractional Fourier transformation matrix can be decomposed into a sum of three or two matrices, one of which is a dense matrix, and the rest of the matrix components are sparse matrices. The aforementioned dense matrix has unique structural properties that allow advantageous factorization. This factorization is the main contributor to the reduction in the overall computational complexity of the discrete fractional Fourier transform computation. The remaining calculations do not contribute significantly to the total amount of computation. Thus, the proposed approach allows to reduce the number of arithmetic operations when calculating the discrete fractional Fourier transform.

Cálculo da Transformada Discreta de Fourier Fracionária com Complexidade Aritmética Reduzida

“…Nesta seção, são apresentados os números de multiplicações e adições necessários para calcular a DFrFT proposta para vários valores de N e é realizada uma comparação com os números requeridos por outros métodos. Também é considerado o cálculo de uma DFrFT baseada em autodecomposição pelo método direto, o método dado em [16] 6 e a proposta em [4]; este último método é, até então, o método com menor complexidade aritmética documentado na literatura.…”

“…Provavelmente, o método mais popular para cálculo da FrFT é o proposto em [3], em que o núcleo da transformada é expresso como uma sucessão de operadores discretizados que são, então, multiplicados por um sinal de N pontos com complexidade aritmética subquadrática. Embora esta estratégia seja computacionalmente eficiente, ela leva à perda de certas propriedades da FrFT, tais como unitaridade, invertibilidade e aditividade de índices e, além do mais, sua aplicação possui algumas restrições [1], [2], [4]. José Outra possibilidade é a definição de uma transformada discreta de Fourier fracionária (DFrFT, do inglês discrete fractional Fourier transform), que consiste, basicamente, na obtenção de um operador matricial F a , a ∈ R, em que F é a matriz da transformada discreta de Fourier (DFT, do inglês discrete Fourier transform).…”

“…2 A partir daqui, este método será referenciado apenas como "DFrFT baseada em autodecomposição". neste artigo considera a multiplicação sequencial à esquerda de x por E T , Λ a e E. É demonstrado que a complexidade multiplicativa do método proposto é similar à apresentada em [4] 3 , sendo, de forma geral, um pouco menor. Por outro lado, a complexidade aditiva é reduzida para menos da metade da do algoritmo proposto em [4].…”

“…neste artigo considera a multiplicação sequencial à esquerda de x por E T , Λ a e E. É demonstrado que a complexidade multiplicativa do método proposto é similar à apresentada em [4] 3 , sendo, de forma geral, um pouco menor. Por outro lado, a complexidade aditiva é reduzida para menos da metade da do algoritmo proposto em [4]. Além disso, a abordagem proposta é utilizada no cenário prático de representação compacta de sinais no domínio fracionário [13] (como descrito na Seção III), em que, para N = 512, por exemplo, o número de multiplicações necessárias é reduzida em cerca de 48%, quando comparado a [4].…”

“…Por outro lado, a complexidade aditiva é reduzida para menos da metade da do algoritmo proposto em [4]. Além disso, a abordagem proposta é utilizada no cenário prático de representação compacta de sinais no domínio fracionário [13] (como descrito na Seção III), em que, para N = 512, por exemplo, o número de multiplicações necessárias é reduzida em cerca de 48%, quando comparado a [4].…”